Respuestas
Respuesta:
Sean A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz); el producto escalar (denominado también producto punto o producto interno) de dos vectores se define como:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
Donde θ es el ángulo entre ambos vectores. También, se puede expresar como:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
El producto escalar siempre es un número real, es conmutativo y distributivo, de él surge el teorema del coseno. Además, cuando el producto escalar de dos vectores A y B es nulo (cero) significa que son perpendiculares entre sí.
DEFINICIÓN
Se le denomina producto escalar (o producto punto o producto interno) de dos vectores A y B a un escalar cuyo valor será igual al producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo que ellos forman:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
El producto escalar representa la proyección del vector A sobre el vector B y equivalentemente a la proyección de B sobre A (Figura I). Otra forma de expresar el producto escalar es:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
PROPIEDADES
El producto escalar de un vector consigo mismo, siempre es positivo:
ζA = A ∙ A = |A|2 ≥ 0
Y sólo será nulo si A es un vector nulo. Por lo tanto:
|A| = √( A ∙ A ) = √ ζA
El producto escalar es conmutativo:
A ∙ B = B ∙ A
Ya que el ángulo entre los vectores es el mismo y la multiplicación entre escalares es conmutativa.
El producto escalar es distributivo:
A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C
La multiplicación por un escalar:
β ∙ (A ∙ B) = |β||A||B| cosθ
(βA) ∙ (βB) = |βA||B| cosθ = |A||βB|cosθ
Del producto escalar surge el Teorema del Coseno:
C = A + B
C · C = (A + B) · (A + B)
|C|2 = |A|2 + |B|2 + 2|A||B| cosθ
Que no es otra cosa que el teorema del coseno.
Teorema del coseno
Diremos que dos vectores, no nulos, son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es nulo (cero):
A ⊥ B → θ = π/2 → A ∙ B = |A||B| cosθ = 0
EJERCICIOS
Calcular el producto escalar de los vectores A = (2, 4, 5) y B = (- 2, 3, 7).
De la fórmula del producto escalar tenemos:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
Por lo tanto:
A · B = (2)(-2) + (4)(3) + (5)(7) =
= – 4 + 12 + 35 =
= 43
Calcular el producto escalar de los vectores A = (2, 3) y B = (-1, 1), considerando que el ángulo entre ambos es θ = 30⁰.
De la fórmula del producto escalar tenemos:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
Calculamos el módulo de ambos vectores:
|A|= √ [ (Ax)2 +(Ay)2 ]= √ [ (2)2 +(3)2 ] = √ (4 + 9 ) = √13
|B|= √ [ (Bx)2 +(By)2 ]= √ [ (-1)2 +(1)2 ] = √ (1 + 1 ) = √2
Por lo tanto:
A ∙ B = √13 √2 cos30 ⁰ =
= (√26 √3)/2 =
= √78 / 2
Determinar si los vectores A = (2, – 3) y B = (-5, -10/3) son perpendiculares.
Dos vectores A y B son perpendiculares si el producto escalar de ambos es cero, es decir:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz = 0
Por lo tanto:
A · B = (2)(-5) + (-3)(-10/3) =
= – 10 + 10 =
= 0
Ambos vectores son perpendiculares.
Dados los vectores A = (2, a) y B = (3, -2), calcular a para que ambos vectores sean perpendiculares.
Para que ambos vectores sean perpendiculares el producto escalar de ambos debe ser cero, es decir:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz = 0
Por lo tanto:
A · B = (2)(3) + a(-2) = 0
6 – 2a = 0
6 = 2a
6/2 = a
a = 3
Explicación: