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8.1 DERIVADA DE UNA FUNCION. Sea y = f (x) , una función definida en cada
punto del intervalo abierto I. Decimos que f (x) es diferenciable (o derivable) en un
punto x de I si existe
lim f(x + h) - f(x)
h+O h
dy df En este caso, dicho límite se designa por - , f '(x) , - (x) o Dx f (x) , y se llama la
dx dx
derivada de f (x) en e2 punto x. Por definición se tiene entonces que
- dy = df ft(x) = =(x) = Dxf(x) = lirn f (x + h) - f (x)
h+O h
Si la derivada f '(x) existe para cada x de 1, la función f '(x) se llama la derivada de
la función f (x) ; y decimos que f (x) es diferenciable en todo el intervalo I.
El valor de la derivada de y en el punto a se suele denotar con
8.2 REGLA PARA CALCULAR LA DERIVADA EN UN PUNTO.
De la definición f '(x) = lim f(x + h) - f(x) = lim f (x + ~x) - f (x) , donde Ax = h,
h-+O h AX-O AX
podemos extraer la siguiente regla para calcular la derivada de f (x) en el punto x.
Paso 1. Se suma a la variable x un incremento Ax # O, y se calcula el valor f (x + AX) .
Paso 2. Se forma el incremento Ay de la función correspondiente al incremento Ax
de la variable x, es decir, se calcula la diferencia Ay = f (x + AX) - f (x).
Paso 3. Se divide ambos miembros entre el incremento de la variable x
AY Paso 4. Se calcula lim - . &-+O Ax
Por definición, el límite resultante es f '(x) , la derivada de f (x) en x.
EJEMPLO. Hallar la derivada de y = 3x2 + x - 5 en el punto x.
SOLUCION. Escribimos f (x) = 3x2 + x - 5 .
AY dY Pasod. lim - = 6x+1. Luego -=6x+1.
Ax-O Ax dX
8.3 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA. Recta tangente a una
curva.
La derivada f '(x) puede ser interpretada como la pendiente de la recta tangente a la
curva y = f (x) en el punto (x, f (x)). En efecto, consideremos un punto P = (x, f (x))
de la grzifica de y = f (x)
Explicación: