En un triangulo ABC, el ángulo B mide 64˙ y el ángulo C mide 72˙. La bisectriz interior CD corta a la altura BH y a la bisectriz BM en P y Q respectivamente. Hallar la diferencia entre el mayor y el menor ángulo del triangulo PBQ.
Respuestas
La diferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor de PBQ es de 98°
Explicación paso a paso:
En el triángulo ABC la bisectriz interior CD y la bisectriz BM definen el triángulo CQB, del cual como las bisectrices parten a los ángulos B y C en dos ángulos iguales, sabemos que dos de sus ángulos son de 36° y 32°.
En el punto Q está el ángulo α que ya pertenece al triángulo PBQ (sombreado en la imagen) y también pertenece al triángulo CQB por lo que le aplicamos el teorema de los ángulos internos a este último:
α=180°-36°-32°=112°
En el triángulo BMC delimitado por la bisectriz BM tenemos dos ángulos de 32° y 72° por lo que el ángulo β queda:
β=180°-32°-72°=76°
Con la altura BH la bisectriz BM forma un triángulo rectángulo por lo que ε y β son complementarios:
ε=90°-β=90°-76°=14°
El otro ángulo del triángulo PBQ es 180°-112°-14°=54° por lo que el ángulo mayor de PBQ es 112° y el menor 14°. La diferencia entre ellos es 112°-14°=98°
