Question

Un águila observa la copa de un árbol con un ángulo de depresión de 45grados. Si avanza horizontalmente 12m, Determina la distancia vertical cuando pase por encima del árbol. Porfis(solución paso a paso pls) :D

Answer 1

El águila estará a 12 metros de altura cuando pase por encima del árbol

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado es un triángulo notable.  

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.      

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.          

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 45-45 (por sus ángulos) o 1-1 (por sus lados).

• En este triángulo ambos ángulos miden 45°, por lo que los dos catetos medirán igual lo que es decir 1 k, mientras que la hipotenusa medirá k √2.  En donde k es siempre una constante.

Otra razón para que sus catetos tengan el mismo valor es que dentro de los triángulos rectángulos es el único que puede ser isósceles - Con ángulos de 45°-45°-90°

Luego en este ejercicio si un cateto mide 12 metros, el otro medirá lo mismo

Haremos el desarrollo y se comprobará la afirmación

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC que equivale a la altura a la que se encuentra el águila, el lado AB que representa la trayectoria del águila al avanzar hacia el árbol y el lado AC que es la proyección visual desde el águila hasta la copa del árbol, con un ángulo de depresión de 45°

El águila al avanzar 12 metros se encuentra exactamente encima del punto A que es donde se ubica el árbol

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo de 45° al punto A para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales Ph1 y Ph2

Y una proyección vertical Pv del cateto opuesto al ángulo de 45°, dado que si hallamos a que altura se encuentra el águila observando la copa del árbol cuando avance horizontalmente 12 metros la distancia medida verticalmente sobre el árbol será la misma

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Trayectoria horizontal del águila = 12 metros

• Ángulo de depresión = 45°

• Debemos hallar la distancia vertical al cuando pase sobre el árbol (por eso hallaremos a que altura se encuentra el águila observando la copa)

Relacionamos estos datos con la tangente del ángulo

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed {\bold {tan (45)\° = 1}}$

Planteamos

$\boxed {\bold {tan (45)\° = \frac{cateto \ opuesto }{cateto \ adyacente} = \frac{BC}{AB} }}$

$\boxed {\bold {tan (45)\° = \frac{altura \ del \ aguila }{trayectoria \ del \ aguila} = \frac{BC}{AB} }}$

$\boxed {\bold { altura \ del \ aguila \ = trayectoria \ del \ aguila \ . \ tan (45)\° }}$

$\boxed {\bold { altura \ del \ aguila \ = 12 \ metros \ . \ tan (45)\° }}$

$\boxed {\bold { altura \ del \ aguila \ = 12 \ metros \ . \ 1 }}$

$\boxed {\bold { altura \ del \ aguila \ = 12 \ metros }}$

La distancia vertical del águila cuando pase sobre el árbol = 12 m

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La trayectoria del águila es de 12 metros

Y al ser el lado adyacente al ángulo notable de 45° medirá 1k

Planteamos

$\boxed {\bold { trayectoria \ del \ aguila \ = 12 \ metros \ = 1k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed {\bold { 1k \ = 12 \ metros }}$

$\boxed {\bold { k \ = \frac{ 12 \ metros }{1} }}$

$\boxed {\bold { k \ = 12 }}$

El valor de la constante k es 12          

El cateto opuesto en un triángulo notable de 45-45 - que representa la altura a la que se encuentra el águila y a la vez la distancia vertical sobre el árbol- mide 1k

Planteamos

$\boxed {\bold { altura \ del \ aguila \ = 1k }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed {\bold { altura \ del \ aguila \ = 1 \ . \ 12 }}$

$\boxed {\bold { altura \ del \ aguila \ = 12 \ metros }}$

La distancia vertical del águila cuando pase sobre el árbol = 12 m