Una persona de 1,8 m de estatura observa la parte más alta de un poste de 5m con un ángulo de elevación de 53grados. Calcula la distancia en la que se encuentra la persona de la base del poste. Porfa (solución)
Respuestas
La distancia de la persona hasta la base del poste es de 2,40 metros
Procedimiento:
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.
¿Qué son los triángulos notables?
Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.
Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.
Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.
En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.
Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.
Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.
Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.
- El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados)
- Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k, y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k . En donde k es siempre una constante.
Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a una porción de la altura del poste, el lado BC que representa la distancia del observador hasta la base del poste y el lado AC es la proyección visual al poste con un ángulo de elevación de 53°.
La visual del observador está a 1,80 metros del plano horizontal
Por lo tanto calcularemos antes una porción de la altura del poste. la cual debemos hallar para poder trabajar con el ángulo de elevación dado
Luego restaremos ambas medidas
Se han trazado dos proyecciones horizontales P1 y P2 donde una va desde el observador a cierta altura del poste, y la otra desde los pies del observador hasta la base del poste. Estas dos proyecciones son de la misma longitud. Donde hallando el valor de una obtendremos la distancia del observador hasta la base del poste
Restamos de la altura del poste la estatura de la persona
Solución
Método 1
Razones trigonométricas con ángulos notables
Conocemos
Porción altura del poste = 3,20 m
Ángulo de elevación = 53°
Debemos hallar la distancia desde la persona hasta la base del poste
Relacionamos estos datos con la tangente del ángulo
Como tenemos un triángulo notable
La distancia de la persona a la base del poste = 2,4 m
Método 2
La porción de altura del poste es de 3,20 metros
Y al ser el lado opuesto al ángulo notable de 53° medirá 4k
Planteamos
Despejamos a la constante k
El valor de la constante k es de 0,8
El lado adyacente en un ángulo notable de 53° - que representa la distancia de la persona a la base del poste - mide 3k
Planteamos
Reemplazamos el valor de la constante k
La distancia de la persona a la base del poste = 2,4 m
La distancia de la persona hasta la base del poste es de 2,40 metros
Procedimiento:
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.
¿Qué son los triángulos notables?
Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.
Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.
Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.
En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.
Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.
Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.
Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.
El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados)
Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k, y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k . En donde k es siempre una constante.
Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a una porción de la altura del poste, el lado BC que representa la distancia del observador hasta la base del poste y el lado AC es la proyección visual al poste con un ángulo de elevación de 53°.
La visual del observador está a 1,80 metros del plano horizontal
Por lo tanto calcularemos antes una porción de la altura del poste. la cual debemos hallar para poder trabajar con el ángulo de elevación dado
Luego restaremos ambas medidas
Se han trazado dos proyecciones horizontales P1 y P2 donde una va desde el observador a cierta altura del poste, y la otra desde los pies del observador hasta la base del poste. Estas dos proyecciones son de la misma longitud. Donde hallando el valor de una obtendremos la distancia del observador hasta la base del poste
Restamos de la altura del poste la estatura de la persona
Solución
Método 1
Razones trigonométricas con ángulos notables
Conocemos
Porción altura del poste = 3,20 m
Ángulo de elevación = 53°
Debemos hallar la distancia desde la persona hasta la base del poste
Relacionamos estos datos con la tangente del ángulo
Como tenemos un triángulo notable
La distancia de la persona a la base del poste = 2,4 m
Método 2
La porción de altura del poste es de 3,20 metros
Y al ser el lado opuesto al ángulo notable de 53° medirá 4k
Planteamos
Despejamos a la constante k
El valor de la constante k es de 0,8
El lado adyacente en un ángulo notable de 53° - que representa la distancia de la persona a la base del poste - mide 3k
Planteamos
Reemplazamos el valor de la constante k
La distancia de la persona a la base del poste = 2,4 m