Question

¿El teorema de Rolle es aplicable a la función $f(x)=\sqrt[3]{x^{2} }$ en el intervalo [-1,1]?
justifique su respuesta

Answer 1

HOLA ..!! , veamos

Teorema de Rolle

este teorema enuncia

• antes de definir este teorema debes de tener conocimiento sobre el capitulo de derivadas .

este teorema enuncia que si tenemos una función con las siguientes    característica

• Sea  una función continua en un intervalo CERRADO por ejemplo que sea un intervalo [a,b]

• Sea  una función derivable en un intervalo ABIERTO  por ejemplo que sea un intervalo <a,b>
• f(a)=f(b)

si se cumple dichas condiciones podemos afirmar que

existe un $C$ que pertenece al dominio de la función en el intervalo [a,b] de tal manera que su derivada en ese punto debe ser cero

                                                 $f'(x)=0$

ahora primeramente no me piden resolver el problema sino la pregunta es especifica es decir si es o no aplicable el teorema así que solo vamos a verificar si cumplen las condiciones del teorema de ROLLE

y si falla algunos de los tres enunciados mencionado entonces NO se puede aplicar el teorema

VERIFIQUEMOS :

                            $f(x)=\sqrt[3]{x^{2} } \ \ \ \ \ \ ,x \ pertenece \ [-1,1]$

• es continua en un intervalo CERRADO  $\quad\checkmark$

• Sea  una función derivable en un intervalo ABIERTO  por ejemplo que sea un intervalo <a,b>   X

• f(a)=f(b)

como no cumple el segundo requisito entonces NO ES APLICABLE EL TEOREMA

¿porque?

si podemos observar que entre -1 y 1 se encuentra cero y por lo tanto en cero no existe la derivada en ese intervalo

¿porque no existe la derivada en cero?

porque en el punto (en este caso ) no hay una única recta que pasa por dicho punto el cual la definición de la derivada es que debe pasar una única recta tangente a dicho punto osea en si a la curva entonces en la gráfica de hay posibilidad que esta termine en punta o pico en cero  ya que como se sabe que en estos caso la derivada no existe en esos caso

ahora si construimos la gráfica de la función sera más visual de que no existe la derivada

NOTA : esto es aplicando la definición pero cabe la posibilidad de que operando se pueda encontrar dicho valor y por lo cual  obviamente seria un resultado errado así que tener mucha atención a este tipo de problemas

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Un saludo cordial .