4. Factoriza cada expresión completamente. Para
ello, utiliza las propiedades de los números reales.
a) 2x4 + 4x2
b) x4 - 16 =
=
c) 9 + 6x + x2
d) x4 - 10x2 + 9 =
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Respuestas
Factorizando cada expresión:
a) 2x∧4 + 4x²
Hacemos cambio de variable: u = x²
2u² + 4u = 2u(u+2)
Devolvemos el cambio de variable:
2x∧4 + 4x² = 2x²(x²+2)
b) x∧4 - 16 =
x∧4 - 16 = (x + 4)(x - 4)
c) 9 + 6x + x² =
9 + 6x + x² = (x+3)²
d) x∧4 - 10x² + 9 =
Hacemos cambio de variable: u = x²
Entonces:
u²- 10u + 9 = (u - 1)(u - 9)
Devolviendo el cambio de variable:
(x² - 1)(x² - 9)
Factorizamos (x² - 1) y (x² - 9)
(x² - 1) = (x + 1)(x - 1)
(x² - 9) = (x+3)(x-3)
Entonces:
x∧4 - 10x² + 9 = (x + 1)(x - 1)(x+3)(x-3)
Ver más:
https://brainly.lat/tarea/6449364
En la factorización de las expresiones dadas se aplican las técnicas: factores comunes, binomios conjugados, binomios cuadrados perfectos y binomios con términos semejantes.
a) 2x⁴ + 4x²
Tomamos factor común:
2x⁴ + 4x² = 2x²(x² + 2)
b) x⁴ - 16
Aplicaremos binomios conjugados:
a² - b² = (a + b)(a - b)
En el caso dado
a² = x⁴ ⇒ a = x²
b² = 16 ⇒ b = 4
Por lo tanto:
x⁴ - 16 = (x² + 4)(x² - 4)
El primer factor es irreducible pero el segundo es factorizable y por el mismo método:
x² - 4
a² = x² ⇒ a = x
b² = 4 ⇒ b = 2
x² - 4 = (x + 2)(x - 2)
Por lo tanto:
x⁴ - 16 = (x² + 4)(x + 2)(x - 2)
c) 9 + 6x + x²
La expresión es un trinomio cuadrado perfecto. Debemos comprobar que proviene del desarrollo del siguiente producto notable:
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
a² = 9 ⇒ a = 3
b² = x² ⇒ b = x
2ab = 2(3)(x) = 6x
lo que coincide con el término grado uno de la ecuación, por lo tanto:
9 + 6x + x² = (3 + x)²
d) x⁴ - 10x² + 9
Vamos a intentar la técnica de binomios con término semejante:
(r ± a)(r ± b)
donde,
El signo en el primer factor es el signo del término grado uno en la ecuación y el signo en el segundo factor es el producto de los signos de los términos grado uno y grado cero.
a y b serán dos números que sumados (con los signos mencionados) den como resultado el coeficiente del término grado uno y multiplicados den como resultado el coeficiente del término grado cero.
En el caso que nos ocupa:
Signo en el primer factor = -
Signo en el segundo factor = (-)(+) = -
a = (-9) + (-1) = -10
b = (-9)(-1) = +9
Por tanto
x⁴ - 10x² + 9 = (x² - 9)(x² - 1)
Ambos factores son reducibles y para ello aplicaremos binomios conjugados:
a² - b² = (a + b)(a - b)
x² - 9
a² = x² ⇒ a = x
b² = 9 ⇒ b = 3
Por lo tanto:
x² - 9 = (x + 3)(x - 3)
x² - 1
a² = x² ⇒ a = x
b² = 1 ⇒ b = 1
Por lo tanto:
x² - 1 = (x + 1)(x - 1)
Finalmente
x⁴ - 10x² + 9 = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1)
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