Question

Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia que pasa por el punto (10,2) y es tangente a la recta x + y=3 en el punto (4,-1)

Answer 1

La forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia es:

(x - h)² + (y - k)² = r²

(h, k) son las coordenadas del centro y r es el radio

1) Pasa por (10, 2)

(10 - h)² + (2 - k)² ) = r²

2) Pasa por (4, - 1)

(4 - h)² + (- 1 - k)² = r²

3) La distancia del centro a la recta x + y - 3 = 0 es el radio:
 
r = (h + k - 3) / √2; o bien 2 r² = (h + k - 3)²

Tenemos 3 ecuaciones con 3 incógnitas. La solución es muy laboriosa.

Utilizando un procesador matemático (Derive 5) se obtienen los siguientes valores.

h = 13/2; k = 3/2; r = 5 √2/2

La ecuación es entonces:

(x - 13/2)² + (y - 3/2)² = 25/2

Adjunto gráfico con la circunferencia, la recta y los dos puntos.

Saludos Herminio

Answer 2

La forma de la ecuación es:
C: (x-h)² + (y-k)² = r²

(10,2) ∈ C → (10-h)² + (2-k)² = r² → h² + k² - 20h - 4k + 104 = r²
(4,-1) ∈ C → (4-h)² + (-1-k)² = r² → h² + k² - 8h + 2k + 17 = r²

resto ambas ecuaciones y se obtiene otra ecuación llamada eq3

eq3: 12h + 6k = 87

La recta perpendicular a la recta tangente es:

Lp: y = x + b;

(4,-1) ∈ Lp → -1 = 4 + b → b= -5

Por lo tanto, Lp: y = x - 5;

El centro de la circunferencia C, que es (h,k), pertenece a la recta Lp, por lo tanto:

k = h - 5 

reemplazo en eq3 y se obtiene:

12h + 6(h-5) = 87

Obtengo h; h = 13/2

Reemplazo y obtengo k; k = 13/2 - 5 = 3/2

obtenido el centro se puede hallar el radio con la distancia del centro a la recta tangente, es decir:
r = |13/2 + 3/2 - 3| / √2 = 5/√2

Obtenidos h; k; r; se procede a reemplazar y tener la ecuación:

C: (x-13/2)² + (y-3/2)² = 25/2

Adjunto gráfico