Question

cuando el extremo libre de un resorte ideal que cuelga del techo se le fija una masa puntual m = 1kg, experimenta un estiramiento de 0.025m , punto en el cual el sistema masa + resorte queda en equilibrio. El sistema masa + resorte descrito, se ata firmemente a una cuerda homogénea cuya posición de equilibrio coincide con el eje x. La masa unida al resorte se tira hacia abajo de modo que ella, junto al primer punto de la cuerda queden 0.05m por debajo de su posición de equilibrio estable del sistema masa + resorte el cual se libera desde el reposo. Si la cuerda está sometida a una tensión de 1N y su densidad lineal de masa μ es igual a 10^-2 kg/m, determine la ecuación que describe las ondas armónicas que se propagan en la cuerda. Suponga que para este caso, que la aceleración gravitacional g = 10 m/s^2

Answer 1

La ecuación de la onda estacionaria en la cuerda es $y(t)=0,05m.sin(2m^{-1}x+20s^{-1}t-\frac{\pi}{2})$

Explicación:

Tenemos por un lado la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda, la cual es:

$v=\frac{T}{\mu}=\sqrt{\frac{1N}{0,01kg/m}}=10\frac{m}{s}$

A su vez la onda que se propaga por el resorte es la posición del oscilador armónico simple que forman la masa y el resorte cuya expresión de posición es:

$x=A.cos(w.t)\\\\w=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Si el estiramiento es de 0,025m en equilibrio y la masa es de 1kg, la constante elástica es:

$mg-k.y=0\\\\k=\frac{mg}{y}=\frac{1kg.10m/s^2}{0,025m}=400N/m$

Con lo cual la pulsación angular de la onda es:

$w=\sqrt{\frac{400N/m}{1kg}}=20s^{-1}$

Nos falta el número de onda 'k', el cual lo hallamos mediante la longitud de onda:

$k=\frac{2\pi}{\lambda}\\\\\lambda.\nu=v\\\\\nu=\frac{w}{2\pi}=> \lambda.\frac{w}{2\pi}=v\\\\\frac{2\pi}{k}.\frac{w}{2\pi}=v\\\\v=\frac{w}{k}=>k=\frac{w}{v}=\frac{20s^{-1}}{10m/s}=2m^{-1}$

Como el estiramiento extra es de 0,05 metros la amplitud es 0,05 metros, entonces la ecuación de la onda estacionaria queda:

$y(t)=A.sin(kx+wt+\phi)\\\\y(t)=0,05m.sin(2m^{-1}x+20s^{-1}t+\phi)$

Como en x=0 y t=0 el valor es y(0)=-0,05m ya que el resorte se tira hacia abajo quedando 0,05m debajo del punto de equilibrio, la fase inicial es -90° o $-\frac{\pi}{2}$, queda:

$y(t)=0,05m.sin(2m^{-1}x+20s^{-1}t-\frac{\pi}{2})$

Y como la onda es sinusoidal este será el único armónico que se va a propagar.