Question

alguien por favor pliss
​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

Datos:

A= {x ∈ Q / 3²ˣ⁺⁵ - 28(3ˣ⁺¹-2)= 55}  

B= { x ∈ N / Log₁₆x + Log₄x + Log₂x= 7 }

Nos piden hallar A U B

Debemos resolver ambas ecuaciones, y si el resultado al que llegamos, cumple con la propiedad establecida (si es racional para A y natural para B) entonces esos serán sus elementos

$3^{2x+5} -28(3^{x+1} -2)=55$

Para resolver ecuaciones exponenciales, debes tener en claro las propiedades de la potenciacion, y ademas usaremos cambio de variable

$(3^{x} )^{2} *3^{5} -28*(3^{x} *3-2)=55$

Como tenemos un termino que se repite (3ˣ), aquí efectuamos el cambio de variable

Vamos a denotar:

R= 3ˣ

Tenemos:

$R^{2} *243-28(R*3-2)=55$

$243R^{2} -84R + 56-55=0$

$243R^{2}-84R + 1=0$

Resolvemos esta ecuación cuadrática, tenemos muchas formas, yo voy a factorizar

Expresamos -84R como:  -3R - 81R

$243R^{2} -3R-81R+1=0$

Factorizo:

$3R*(81R-1)-(81R-1)=0$

$(81R-1)*(3R-1)=0$

$81R-1=0$                     $3R-1=0$

$81R= 1$                           $3R=1$

$R_{1} = \frac{1}{81}$                            $R_{2} = \frac{1}{3}$

Recordemos que R= 3ˣ

$3^{x} = \frac{1}{81}$                   $3^{x} = \frac{1}{3}$

$3^{x} =3^{-4}$                $3^{x} =3^{-1}$

$x_{1} =-4$                $x_{2} =-1$  

La condición que tenemos es que x ∈ Q, lo cual si se cumple, ya que cualquier entero se puede expresar de la forma  z/1 donde  z ∈ Z

A=  {-4,-1}

Vamos a B

$Log_{16} x+Log_{4} x+Log_{2}x=7$

Si queremos cambiar de base en logaritmo (en este caso nos conviene que la base sea la menor posible, es decir 2), debemos seguir lo siguiente:

$Log_{a} b= \frac{Log_{c}b }{Log_{c} a}$

c: es la base a la que quieres llegar

Por lo tanto vamos a realizar primero las conversiones, luego resolvemos

$Log_{16} x= \frac{Log_{2}x }{Log_{2}16 } = \frac{Log_{2}x }{4} = \frac{1}{4} *Log_{2}x$

$Log_{4} x= \frac{Log_{2}x }{Log_{2} 4} = \frac{Log_{2}x }{2} = \frac{1}{2} *Log_{2}x$

Ya tenemos la conversiones realizadas, por lo tanto vamos a resolver la ecuación logarítmica

$\frac{1}{4} *Log_{2}x + \frac{1}{2}*Log_{2} x+Log_{2} x=7$

Como los logaritmos tienen la misma base y argumento, podemos sumar sus coeficientes, nos queda:

$\frac{7}{4} *Log_{2} x=7$

$Log_{2}x =7*\frac{4}{7}$

$Log_{2}x= 4$

Podemos pasar de la forma logarítmica a la exponencial, recordando la definición de logaritmo:

$Log_{a} b=c$        ⇔        $a^{c} =b$

Nos queda:

$2^{4} =x$

$x= 16$

16 efectivamente es un natural, así que es elemento:

B= {16}

Ahora por definición la unión de 2 conjuntos es:

A U B= { x∈ U /  x ∈ A ∨ x ∈ B}

Es como si solo agrupáramos todos los elementos de ambos conjuntos en uno solo, nos queda:

A U B = {-4,-1,16}

EL ejercicio nos pide su suma:

 

-4 -1 + 16 = 11 Solución

Saludoss