Question

Se cuelga una piñata amarrando una cuerda de 6.77 metros de largo entre 2 postes que estan separados 6 metros uno de otro. Se cuelga la piñata a los 2.5 metros de uno de los extremos de la cuerda, y posteriormente los extremos de la cuerda se sujetan a los 3.5 metros de altura de cada poste. La piñata queda colgada a 4 metros del poste más lejano. ¿A qué altura quedó colgada la piñata? Represéntalo gráficamente.

Answer 1

La piñata quedó colgada a 2 metros de altura

Procedimiento:

Se cuelga una piñata amarrando una cuerda de 6,77 de largo entre dos postes, los cuales están separados 6 metros de distancia uno del otro

En donde la piñata se ha colgado a 2,5 metros de uno de los extremos de la cuerda y los dos extremos de la cuerda -cuya longitud total es de 6,77 metros- se sujetan a una altura de 3,5 metros de cada uno de los postes

Conocemos también que la piñata queda colgada a 4 metros del poste más lejano

Se pide hallar a que altura quedó colgada la piñata

Solución

Representamos la situación gráficamente en donde tenemos dos triángulos rectángulos en direcciones opuestas y unidos por un vértice y en ese vértice se encuentra la piñata

El triángulo ABC en donde el lado AC (hipotenusa) representa la longitud de un trozo de cuerda que se amarró al extremo de un poste (poste 1) hasta el punto C - que es donde su ubica la piñata- en donde conocemos esta dimensión por enunciado la cual es de 2,5 metros, el lado BC (cateto b) que equivale a la distancia medida horizontalmente desde la piñata ubicada en C hasta uno de los postes y el lado AB (cateto a) a la que llamaremos "a" y de la cual desconocemos su magnitud

El triángulo CDE en donde el lado CE (hipotenusa) representa la longitud del otro trozo de cuerda que está amarrado al extremo del poste más lejano hasta el punto C - que es donde se ubica la piñata- donde no conocemos esa longitud de la cuerda, pero la podemos determinar fácilmente. Ya que conocemos el largo total de la cuerda utilizada para amarrar la piñata que es de 6,77 metros en donde se emplearon de esa cuerda 2,5 metros para sujetarla al otro poste, por tanto esa dimensión de cuerda se reduce a una resta de la longitud total de la cuerda a la porción de cuerda ya empleada para la sujeción al otro poste. Siendo 6,77 metros - 2,5 metros = 4,27 metros de cuerda. Tenemos luego el lado CD (cateto b1) que equivale a la distancia medida horizontalmente desde la piñata ubicada en C hasta el poste más alejado, donde por enunciado conocemos esa magnitud que es de 4 metros y el lado DE (cateto a1) del cual desconocemos su dimensión. Pero donde podemos afirmar que esta es igual o congruente con el lado AB del primer triángulo rectángulo

Se quiere saber el valor de la altura a la que se encuentra colgada la piñata (h), para ello sólo debemos hallar el valor de los catetos verticales por medio del Teorema de Pitágoras para que al restar ese valor a los 3,5 metros del poste encontremos a que altura quedó colgada la piñata.

Reiterando que los catetos de los dos triángulos rectángulos de los cuales no sabemos su valor tienen la misma dimensión

Por tanto basta con hallar la magnitud de uno de ellos en cualquiera de los dos triángulos rectángulos.

No teniendo porque resolver ambos triángulos para determinar a que altura está la piñata.

Se adjunta al ejercicio gráfico para una mejor comprensión del mismo

El Teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed { \bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1 ^{2} \ + \ cateto \ 2 ^{2} }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = \ a ^{2} \ + \ b ^{2} }}$

Como vamos a hallar el valor del cateto horizontal de uno sólo de los triángulos rectángulos

Resolveremos para el triángulo ABC

En donde el valor de la hipotenusa = c son los 2,5 metros de cuerda

En donde el valor del lado BC = cateto b está dado por  

$\boxed {\bold { BC (b) = \ Distancia \ entre \ Postes\ - \ CD}}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold { BC (b) = \ 6 \ metros\ - \ 4 \ metros }}$

$\boxed {\bold { BC (b) = \ 2 \ metros }}$

Hallamos el valor del cateto vertical AB (a) por medio del teorema de Pitágoras

$\boxed { \bold { c^{2} = \ a ^{2} \ + \ b ^{2} }}$

$\boxed { \bold { a^{2} = \ c ^{2} \ - \ b ^{2} }}$

Reemplazamos valores

$\boxed { \bold { a^{2} = \ 2,5 ^{2} \ - \ 2 ^{2} }}$

$\boxed { \bold { a^{2} = \ 6,25 \ - \ 4 }}$

$\boxed { \bold { a^{2} = \ 2,25 }}$

$\boxed { \bold { \sqrt{ a^{2} } = \sqrt{2,25} }}$

$\boxed { \bold { a = \sqrt{2,25} }}$

$\boxed { \bold { a =\ 1,5 \ metros }}$

El cateto vertical AB (a) mide 1,5 metros

Hallando a que altura está colgada la piñata

Restamos de los 3,5 metros de donde se sujetó la cuerda al poste el valor "a" que hemos calculado

$\boxed{ \bold { Altura \ de \ la \ Pi\~nata \ (h) = \ 3,5 \ metros \ - \ 1,5 \ metros}}$

$\boxed{ \bold { Altura \ de \ la \ Pi\~nata \ (h) = \ 2 \ metros }}$

La piñata se encuentra a 2 metros de altura