Question

Soluciones integrales en estructuras (SIE) es una empresa que se dedica a construir domos para almacenes, de los cuales uno de los más populares es el famoso Arco-senoidal, el cual es construido con base en la unión de placas de 1 m2.

Utilizando integración numérica, mediante la regla de Simpson, con una partición de 10 elementos, calcula la longitud del arco (línea roja) que describe un domo creado por SIE, cuya imagen en el simulador da como resultado la figura 1:

Answer 1

La integral que debemos hallar es

          $\displaystyle \int_{-25}^{25}\sqrt{1+\pi^2\sin^2\dfrac{\pi x}{50}}\;dx$

si dividimos al intervalo [-25, 25] en 10 partes, entonces tendremos
                                    $x_k=-25+5k\;,\; k\in[0,10]$

por ende
                         $f(x_k)=\sqrt{1+\pi^2\sin^2\dfrac{\pi k}{5}}$

Según la regla de Simpson tenemos que la integral mencionada arriba, se aproxima a:

$I=\dfrac{25-(-25)}{3(10)}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+4f(x_5)+\cdots\\ \\ \cdots + 2f(x_6)+4f(x_7)+2f(x_8)+4f(x_9)+f(x_{10})]$


           $f(x_0)=1\\ \\ f(x_1)=\sqrt{1+\pi^2\sin^2\dfrac{\pi}{5}}\\ \\ f(x_2)=\sqrt{1+\pi^2\sin^2\dfrac{2\pi}{5}}\\ \\ f(x_3)=\sqrt{1+\pi^2\sin^2\dfrac{3\pi}{5}}\\ \\ f(x_4)=\sqrt{1+\pi^2\sin^2\dfrac{4\pi}{5}}\\ \\ f(x_5)=1\\ \\ f(x_6)=f(x_1)\\ \\ f(x_7)=f(x_2)\;,\;f(x_8)=f(x_3)\;,\; f(x_9)=f(x_4)\;,\;f(x_{10})=1$


$\displaystyle I=\dfrac{5}{3}\cdot6\sum_{k=0}^{4}\sqrt{1+\pi^2\sin^2\dfrac{k\,\pi}{5}}\right]\\ \\ \\ \boxed{I=10\sum_{k=0}^{4}\sqrt{1+\pi^2\sin^2\dfrac{k\,\pi}{5}}\right]}$