Pruebe que las tres proposiciones siguientes son equivalentes:
a. p -> (q v r)
b. (p ^ ¬q) -> r
c. (p -> q) v (p -> r)
Respuestas
Respuesta dada por:
3
Demostremos que (b) y (c) son equivalentes a la proposición (a)
(b)
(b.1) definición de la condicional
![\neg(p\wedge \neg q)\to r\equiv \neg(p\wedge \neg q)\vee r \neg(p\wedge \neg q)\to r\equiv \neg(p\wedge \neg q)\vee r](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cneg%28p%5Cwedge+%5Cneg+q%29%5Cto+r%5Cequiv+%5Cneg%28p%5Cwedge+%5Cneg+q%29%5Cvee+r)
(b.2) ley de morgan
![\neg(p\wedge \neg q)\to r\equiv (\neg p\vee q)\vee r \neg(p\wedge \neg q)\to r\equiv (\neg p\vee q)\vee r](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cneg%28p%5Cwedge+%5Cneg+q%29%5Cto+r%5Cequiv+%28%5Cneg+p%5Cvee++q%29%5Cvee+r)
(b.3) Ley asociativa en el disyuntor
![\neg(p\wedge \neg q)\to r\equiv \neg p\vee ( q\vee r) \neg(p\wedge \neg q)\to r\equiv \neg p\vee ( q\vee r)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cneg%28p%5Cwedge+%5Cneg+q%29%5Cto+r%5Cequiv+%5Cneg+p%5Cvee+%28+q%5Cvee+r%29)
(b.4) definición de la condicional
![\boxed{\neg(p\wedge \neg q)\to r\equiv p\to ( q\vee r)} \boxed{\neg(p\wedge \neg q)\to r\equiv p\to ( q\vee r)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%5Cneg%28p%5Cwedge+%5Cneg+q%29%5Cto+r%5Cequiv++p%5Cto+%28+q%5Cvee+r%29%7D)
Probado
(c)
(c.1) definición de la condicional
(c.2) Propiedad conmutativa en el disyuntor
![(p\to q)\vee (p\to r)\equiv(q \vee \neg p)\vee (\neg p\vee r) (p\to q)\vee (p\to r)\equiv(q \vee \neg p)\vee (\neg p\vee r)](https://tex.z-dn.net/?f=%28p%5Cto+q%29%5Cvee+%28p%5Cto+r%29%5Cequiv%28q+%5Cvee+%5Cneg+p%29%5Cvee+%28%5Cneg+p%5Cvee+r%29)
(c.3) Propiedad asociativa en el disyuntor
![(p\to q)\vee (p\to r)\equiv q \vee (\neg p\vee \neg p)\vee r (p\to q)\vee (p\to r)\equiv q \vee (\neg p\vee \neg p)\vee r](https://tex.z-dn.net/?f=%28p%5Cto+q%29%5Cvee+%28p%5Cto+r%29%5Cequiv+q+%5Cvee+%28%5Cneg+p%5Cvee+%5Cneg+p%29%5Cvee+r)
(c.4) Idempotencia en los paréntesis
![(p\to q)\vee (p\to r)\equiv q \vee \neg p\vee r (p\to q)\vee (p\to r)\equiv q \vee \neg p\vee r](https://tex.z-dn.net/?f=%28p%5Cto+q%29%5Cvee+%28p%5Cto+r%29%5Cequiv+q+%5Cvee+%5Cneg+p%5Cvee+r)
(c.5) conmutatividad
![(p\to q)\vee (p\to r)\equiv \neg p \vee q\vee r (p\to q)\vee (p\to r)\equiv \neg p \vee q\vee r](https://tex.z-dn.net/?f=%28p%5Cto+q%29%5Cvee+%28p%5Cto+r%29%5Cequiv+%5Cneg+p+%5Cvee+q%5Cvee+r)
(c.6) Asociatividad
![(p\to q)\vee (p\to r)\equiv \neg p \vee (q\vee r) (p\to q)\vee (p\to r)\equiv \neg p \vee (q\vee r)](https://tex.z-dn.net/?f=%28p%5Cto+q%29%5Cvee+%28p%5Cto+r%29%5Cequiv+%5Cneg+p+%5Cvee+%28q%5Cvee+r%29)
(c.7) definición de la condicional
![\boxed{(p\to q)\vee (p\to r)\equiv p \to (q\vee r)} \boxed{(p\to q)\vee (p\to r)\equiv p \to (q\vee r)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%28p%5Cto+q%29%5Cvee+%28p%5Cto+r%29%5Cequiv++p+%5Cto+%28q%5Cvee+r%29%7D)
Queda probado
(b)
(b.1) definición de la condicional
(b.2) ley de morgan
(b.3) Ley asociativa en el disyuntor
(b.4) definición de la condicional
Probado
(c)
(c.1) definición de la condicional
(c.2) Propiedad conmutativa en el disyuntor
(c.3) Propiedad asociativa en el disyuntor
(c.4) Idempotencia en los paréntesis
(c.5) conmutatividad
(c.6) Asociatividad
(c.7) definición de la condicional
Queda probado
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