Question

Pruebe que las tres proposiciones siguientes son equivalentes:
a. p -> (q v r)
b. (p ^ ¬q) -> r
c. (p -> q) v (p -> r)

Answer 1

Demostremos que (b)  y (c) son equivalentes a la proposición (a)

(b)
(b.1) definición de la condicional
          $\neg(p\wedge \neg q)\to r\equiv \neg(p\wedge \neg q)\vee r$

(b.2) ley de morgan
           $\neg(p\wedge \neg q)\to r\equiv (\neg p\vee q)\vee r$

(b.3) Ley asociativa en el disyuntor
            $\neg(p\wedge \neg q)\to r\equiv \neg p\vee ( q\vee r)$

(b.4) definición de la condicional
        $\boxed{\neg(p\wedge \neg q)\to r\equiv p\to ( q\vee r)}$
Probado

(c)
(c.1) definición de la condicional
       $(p\to q)\vee (p\to r)\equiv(\neg p\vee q)\vee (\neg p\vee r)$ 

(c.2) Propiedad conmutativa en el disyuntor
       $(p\to q)\vee (p\to r)\equiv(q \vee \neg p)\vee (\neg p\vee r)$

(c.3) Propiedad asociativa en el disyuntor
          $(p\to q)\vee (p\to r)\equiv q \vee (\neg p\vee \neg p)\vee r$

(c.4) Idempotencia en los paréntesis
              $(p\to q)\vee (p\to r)\equiv q \vee \neg p\vee r$

(c.5) conmutatividad
                 $(p\to q)\vee (p\to r)\equiv \neg p \vee q\vee r$

(c.6) Asociatividad
                   $(p\to q)\vee (p\to r)\equiv \neg p \vee (q\vee r)$

(c.7) definición de la condicional
                   $\boxed{(p\to q)\vee (p\to r)\equiv p \to (q\vee r)}$
Queda probado