Question

A PARTIR DE LA FUNCION, Y= F (X), DEFINA A TROZOS POR INTERVALOS.



Adjunto grafica

Answer 1

f(x) está definida en 3 intervalos:
1) para - ∞ < x ≤ 0
2) para 0 < x ≤ 3
3) para 3 < x < ∞

El 1 es una parábola que tiene vértice en x = 0 y vale (0,0). Otros puntos son el (-1, -1) y el (-2,-4).
Tenemos f(x) = ax² + bx + c. Sustituimos los puntos que tenemos.
0 = a*0² + b*0 + c ; c = 0.
- 1 = a*(-1)² + b*(-1) + 0 ; -1 = a - b
- 4 = a*(-2)² + b*(-2) + 0 ; - 4 = 4a - 2b
Resolvemos el sistema por reducción multiplicando la primera ecuación por -4.
4 = - 4a + 4b
-4 = 4a - 2b
0 = 0a + 2b ; 2b = 0 ; b = 0/2 ; b = 0
Sustituimos el valor de b para hallar el valor de a
-1 = a - b ; a = b - 1 ; a = 0 - 1 ; a = - 1

La ecuación del tramo 1 es f(x) = - x²

2) Este tramo es una recta que ni crece ni decrece; es decir, tiene de pendiente 0.
Gráficamente se puede ver que f(x) = 1 pero podemos calcularla a través de dos puntos de la recta con la siguiente ecuación
(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1)
Los puntos que utilizaremos son (1,1) y (2,1)
(x - 1) / (2 - 1) = (y - 1) / (1 - 1)
(x - 1) / 1 = (y - 1) / 0
0(x - 1) = 1*(y - 1)
0 = y - 1
y = 1

3) Es una recta creciente por lo que su pendiente es positiva. Calculamos la ecuación a partir de dos puntos cualesquiera a través de la ecuación vista en el segundo tramo.
(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1)
(4,4) y (5,5)
(x - 4) / (5 - 4) = (y - 4) / (5 - 4)
(x - 4) / 1 = (y - 4) / 1
x - 4 = y - 4
y = x - 4 + 4
y = x

La función quedaría definida como:
f(x) = - x² si - ∞ < x ≤ 0
f(x) = 1 si 0 < x ≤ 3
f(x) = x si 3 < x < ∞