Question

¿Cuál es la suma digital del número resultante al realizar la siguiente operación?

Answer 1

Respuesta:

• La suma digital es 48

Muy bien!

Nos piden clacular la suma  digital de $2020\left(1+10^2+10^3+10^4...+10^{2020}\right)$

Primero debemos entender que un la suma digital quiere decir la suma de sus dígitos totales, ósea debo sumar de toda la operación que e salga la suma de todos sus dígitos y el resultado de este es la respuesta:

Pero a simple vista parece un ejercicio muy complejo ¿no?

Claro puesto que en segundo producto hay una sucesión de potencias donde la base es 10 y la enésima potencia de toda la suma de las bases potenciadas es 2020

Como bien sabemos no podemos utilizar la fórmula para hallar la operación en si puesto el número es muy grande e incalculable.

Por ello debemos pasarnos a algunos trucos matemáticos:

Vamos a probar pero con un número más pequeño:

Si $1+10^2+10^3+10^4+10^5+10^6=1111101$ , Entonces en total hay 6 unos(1)

esto quiere decir que hay relación con la potencia

Y si a este resultado le multiplicamos con 2020

$2020\cdot \:1111101=2244424020$ Así si lo podemos sumar digitalmente pero necesitamos saber número más grandes y encontrar una relación entre números.

Probaremos con 7 , si la potencia es 7 entonces habrá 7 unos en forma de que uno de ellos este detrás siempre de un cero, entonces que en producto 2020:  

$2020\cdot \:11111101=22444424020$ Vemos que lo único que cambio son los 4, pero debe haber un límite, si lo veremos con un número más agrande aun.

Probemos con 9 , siguiendo los demas pasos queda: $2020\cdot \:1111111101=2244444424020$

Con potencia 10 : $2020\cdot \:11111111101=2244444444424020\cdot 10^{13}$

Vemos que la cifra deja de soltar numero en $2244444444424020$ y lo demas siguen siendo potencias que aumentan.

Muy bien en este casi debemos tomar en cuenta que un número elevado a una potencia de cualquier potencia de base 10 solo recorren los ceros a la derecha.

Esto quiere decir que no importa si el número es grande siempre quedaran 0

Entonces en potencia 2020: $1\:\rightarrow 2019veces-01$

$2244444444424020\cdot 10^{xnumero\:}=2244444444424020000...yveces$

Entonces no fijamos que el número final es un número largo pero podemos sumas sus dígitos sin problema, si no contamos los 0 en los dígitos por que no suman nada queda: sumar digitalmente:

$2+2+4+4+4+4+4+4+4+4+4+2+4+0+2+0$

Y esta suma nos da :

48    ⇒Respuesta