Question

Hallar el valor de "n" en los números: A = 15.40n ; B = 15n.40 para que el MCM tenga 200 divisores

Answer 1

Explicación paso a paso:

A = 15 . 40^n ; B= 15^n . 40 MCM = 200 divisores

Tener en cuenta que:

(*) MCM = múltiplos comunes y no comunes con su mayor exponente

200 = 2^3 . 5^2 = 10 . 5 . 4

15 = 3 . 5 ; 40 = 2^3 . 5

15^n = 3^n . 5^n ; 40^n = 2^3n . 5^n uniendo todo tenemos

(3 . 5 . 2^3n . 5^n ; 3^n . 5^n . 2^3 . 5)

(2^3n . 5^n+1 . 3 ; 2^3 . 3^n . 5^n+1)

Recordando (*) tomamos :

2^3n . 5^n+1 . 3^n

Luego para encontrar el numero de divisores a cada exponente de las expresiones se les suma 1 y se iguala al numero de exponentes y nos queda

(3n + 1) . (n + 1 + 1) . (n + 1) = 10 . 5 . 4 luego en ese mismo orden separamos la expresión de mayor a menor

3n + 1 = 10 despejando tenemos 3n = 9 ;n = 3

n + 2 = 5 despejando tenemos n = 3

n + 1 = 4 despejando tenemos n = 3

"n = 3"

"Para comprobar"

MCM(135;960)x10^3 descomponemos en factores primos

135 = 3^3 . 5 ; 960 = 2^6 . 3 . 5

(3^3 . 5 ; 2^6 . 3 . 5) x 10^3 pero 10^3 = 2^3 . 5^3 entonces nos queda:

(2^3 . 3^3 . 5^4 ; 2^9 . 3 .5^4) tomando los comunes y no comunes con su mayor exponente tenemos:

2^9 . 3^3 .5^4 para saber cuantos divisores tiene dicho numero basta tomar los exponentes sumarle 1 y multiplicarlos entre si es decir:

(9+1).(3+1).(4+1) = 10 . 4 . 5 = 200

Espero que te ayude.