Question

sen (4x) - cos (3x) = sen(2x)

Answer 1

Hola :=) 
Primero que nada hay que recordar las identidades trigonométricas. 
1) sen(Ax)sen(Bx)=-1/2[cos(A+B)x-cos(A-B)x] 
2) cos(Ax)cos(Bx)=1/2[cos(A+B)x+cos(A-B)x] 

Entonces vamos a comenzar por la 1ra integral. 
∫sen(2x)sen(4x)dx 
Vamos a usar la identidad 1. 
sen(2x)sen(4x)=-1/2[cos(6)x-cos(-2)x] 
Entonces nuestra integral queda: 
∫-1/2[cos(6x)-cos(-2x)]dx 
Debido a que "-1/2" es una constante se puede sacar. 
Quedaría: 
-1/2∫[cos(6x)-cos(-2x)]dx 
Entonces es cuestión de integrar los dos cosenos. 
El primero ∫cos(6x)=sen(6x)/6 
*Supongo que ya sabes integrar lo más sencillo. 
El segundo ∫-cos(-2x)=sen(-2x)/2 
Entonces solamente es cuestión de multiplicar: 
-1/2[(sen(6x)/6)+(sen(-2x)/2)]+c 
Y la respuesta final es: 
-[sen(6x)/12]-[sen(-2x)/4]+c 

Vamos por la segunda, en esta se usará la identidad 2. 
∫cos(x)cos(4x)dx 
cos(x)cos(4x)=1/2[cos(1+4)x+cos(1-4)x] 
Entonces nuestra integral queda: 
∫1/2[cos(5x)+cos(-3x)]dx 
Debido a que "1/2" es una constante se puede sacar. 
Quedaría: 
1/2∫[cos(5x)+cos(-3x)]dx 
Entonces es cuestíon de integrar los dos cosenos: 
∫cos(5x)=sen(5x)/5 
∫cos(-3x)=-sen(-3x)/3 
Entonces se multiplica por el "1/2" que está afuera. 
1/2[(sen(5x)/5)-(sen(-3x)/3)]+c 
Y la respuesta final es: 
[sen(5x)/10]-[sen(-3x)/6]+c 

La última "∫cos(4x)cos(3x)dx" es el mismo procedimiento que el anterior. La dejaré para que practiques ;) pero de cualquier manera te dejaré el resultado para que lo verifiques. 
Resultado final: 
[sen(7x)/14]+[sen(x)/2]+c 

Nos vemos. Que tengas un excelente día.