Question

1. Calcula los determinantes desarrollando una fila. a. | 4 −1 5 −7 8 0 −2 6 2 | b. | 4 −8 7 −5 2 −4 6 −5 1 | 2. Halla los determinantes desarrollando una columna. a. | 0 −2 4 5 −7 12 8 −4 14 | b. | 10 −3 9 −5 7 −4 1 −5 2 | 3. Calcula el determinante de la matriz desarrollando la tercera fila. = ( 2 −3 −1 1 4 −2 −5 0 3 )

Answer 1

Al calcular los determinantes se obtiene:

1. Determinante desarrollando una fila

a) det = -81

b) det = 171

2. Determinante desarrollando una columna

a) det = 92

b) det = 84

3. Determinante desarrollando la tercera fila

det(A) = -17

Explicación paso a paso:

El cálculo del determinante desarrollando una fila de una matriz de 3x3 es:

$A= \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]$

$det(A)=a_{11}a'_{11}+ a_{12}a'_{12}+a_{13}a'_{13}$

siendo;

$a'_{ij}= (-1)^{i+j}det(A_{ij})$

El cálculo del determinante desarrollando una columna de una matriz de 3x3 es:

$det(A)=a_{11}a'_{11}+ a_{21}a'_{21}+a_{31}a'_{31}$

1. Calcula los determinantes desarrollando una fila.

$a)\left[\begin{array}{ccc}4&-1&5\\-7&8&0\\-2&6&2\end{array}\right]$

siendo:

a'₁₁ = (-1)¹⁺¹ = 1

a'₁₂ = (-1)¹⁺² = -1

a'₁₃ = (-1)¹⁺³ = 1

= 4[(8)(2)-0] - (-1)[(-7)(2)-0] + 5[(-7)(6)-(-2)(8)]

= 4(16) - (-1)(-14) + 5(-26)

= 64 -14  - 130

Det = -80

$b)\left[\begin{array}{ccc}4&-8&7\\-5&2&-4\\6&-5&1\end{array}\right]$

siendo:

a'₁₁ = (-1)¹⁺¹ = 1

a'₁₂ = (-1)¹⁺² = -1

a'₁₃ = (-1)¹⁺³ = 1

= 4[(2)(1)-(-5)(-4)] - (-8)[(-5)(1)-(6)(-4)] + 7[(-5)(-5)-(6)(2)]

= 4(-18) - (-8)(19) + 7(13)

= -72 + 152 + 91

Det = 171

2. Halla los determinantes desarrollando una columna.

$a)\left[\begin{array}{ccc}0&-2&4\\5&-7&12\\8&-4&14\end{array}\right]$

siendo:

a'₁₁ = (-1)¹⁺¹ = 1

a'₂₁ = (-1)¹⁺² = -1

a'₃₁ = (-1)¹⁺³ = 1

= 0 - 5[(-2)(14)-(-4)(4)] + 8[(-2)(12)-(-7)(4)]

= -5(-12) + 8(4)

= 60+32

Det = 92

$b)\left[\begin{array}{ccc}10&-3&9\\-5&7&-4\\1&-5&2\end{array}\right]$

siendo:

a'₁₁ = (-1)¹⁺¹ = 1

a'₂₁ = (-1)¹⁺² = -1

a'₃₁ = (-1)¹⁺³ = 1

= 10[(7)(2)-(-5)(-4)] - (-5)[(-3)(2)-(-5)(9)] + 1[(-3)(-4)-(7)(9)]

= 10(-6) -(-5)(39) - 51

= -60 +195 -51

Det = 84

3. Calcula el determinante de la matriz desarrollando la tercera fila.

$A=\left[\begin{array}{ccc}2&-3&-1\\1&4&-2\\-5&0&3\end{array}\right]$

siendo:

a'₃₁ = (-1)³⁺¹ = 1

a'₃₂ = (-1)³⁺² = -1

a'₃₃ = (-1)³⁺³ = 1

= -5[(-3)(-2)-(4)(-1)] - 0+ 3[(2)(4)-(1)(-3)]

= -5(10) + 3(11)

=  - 50 +33

Det(A) = -17

Answer 2

1) Al calcular los determinantes desarrollando una fila, resulta:

   a) - 80

   b)  171

2) Al hallar los determinantes desarrollando una columna, resulta:

    a) 92

    b) 84

3) El determinante de la matriz desarrollando la tercera fila es : -17

   

Al calcular los determinantes desarrollando una fila o una columna se procede a aplicar menores complementarios se selecciona la fila o columna, luego se seleccionan los signos de la posición que ocupan los adjuntos de dicha fila o columna, en base a la siguiente tabla:  

       I  +  -  + I

       I  -  +  -  I

       I +  -   + I

                    I -1  5 I         I  4  5 I         I  4  -1 I

  1)  a)  -(-7)* I 6  2 I + 8* I -2  2 I - 0*  I -2  6 I  =

            -(-7)* ( -1*2 -5*6)+ 8*( 4*2 -5*(-2))- 0* ( 4*6- (-2)*(-1)) =

            7*( -32) +8*(18) = -224+144 = - 80

       b)  4*(2*1-(-5)*-4) - (-8)*(-5*1-6*-4) + 7*(-5*-5-6*2) =

             4*(-18) - (-8)*(19) + 7*(13)  = -72 + 152 + 91 = 171

 2)  a) -5*( -2*14 - 4*-4) +8*(-2*12 -4*-7)=

           -5*( -12)+8*(4)= 92

       b) 10*( 7*2-(-4)*(-5)) -(-5)*(-3*2-9*-5) +1*(-3*-4-9*7)=

             10*( -6) +5*(39)+ 1* ( -51)= 84

  3)  +(-5)*( -3*-2-4*-1) -0* ( 2*-2-1*-1)+3*(2*4-1*-3)=

          -5*(10) +3*( 11)= -17

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