Si N= 2 . 3a . 7b tiene 40 divisores 9° y 30 divisores pares , hallar ( alfa + beta ) psdt: a= alfa elevado ,b= beta elevado AIUDA PORFAVOR :C
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Respuesta:
El tema es
Estudio de los divisores positivos de un Numero..
Mejor dicho Numeros primos..
Se debe saber cual es el concepto de un numero primo y además que es la cantidad de divisiores de un numero Natural mayor que 0.
Un Numero compuesto puede ser representado comó el producto de dos primos o más...
El único numero simple es el 1...
Y claro un numero primo solo es divisible entre si mismo y la unidad.....
Nota : 3^2 este ^2 es potencia osea 3 elevado alcuadrado para que me entiendas ya que estoy acostado xd
Bueno Sea EL NUMERO COMPUESTO 36 ese Numero tendra una cierta cantidad de primos al descomponerlo...
O dividirlo entre todos los primos que se pueda....
Supongamos que lo hicimos entonces 6 queda representado como el producto de dos numeros primos
Ojo... no solo son 2 pueden ser demasiados...
Entonces..
36 = 2^2× 3^2
Esto se le llama la descomposición canoníca...
Ahora viene la cantidad de divisores que nos ayudara a definir cuantos divisores tiene un numero
Se calcula Así...
Supongamos Un Numero primo representado como
p^a× q^b
La cantidad de divisores se define como
CD = (a+1)(b+1)
Listo....
Para nuestro ejemplo CD(36)= (2 + 1)(2+ 1) = 9
Ahora si la cantidad de divisores de 36 que sean multiplos de 9 Debemos formar ese nueve en nuestra descomposición canónica....
Entoces..
36 = 2^2 ×3^2= 9 × (2^2)
Al aplicarle la Cantidad de divisores , ya no tomamos al nueve porque debe ser el multiplo a salir.. entonces tomamos solo al 2.....
CD(36 que son multiplos de 9) = ( 2 + 1)= 3
Ya esta!
Pdst si dice que es par es porque es multiplo de 2 ahora si a resolver.
N = 2 x 3^a x 7^b
Dice 40 divisores multiplos de 9 , entonces debemos formar ese nueve , pero COMO!!¡?¿ Facil multiplicamos y dividimos por 9 así no se afecta entonces
1/9 es lo mismo que 3^-2
N = 9 × 3^-2 × 3^a ×7^b ×2
Queda
N = 9 ( 3^-2+a × 7^b × 2)
Tomamos la CD del parentesis Entonced
CD ( N multiplos de 9 ) = 40
40 = ( 1 + a -2)( 1 + 1) ( b + 1)
40= ( a - 1) ×2×(b+1)
20= (a - 1) (b+1)
Dejamos esto aqui nos ayudara mas adelante
Lo llamaremos expresion 1
Luego dice 30 divisores pares sacamos el 2
N = 2 ( 3^a × 7^b)
CD( N Multiplo de 2 ) = (a+1)(b+1) =30
Llamamos a esto expresión 2
Dividimos la expresion 1 entre 2
20 = ( a - 1)(b +1)
30= (a + 1)(b+1)
20a + 20= 30a - 30
50 = 10a
a= 5
Luego
Remplazas
20 = ( 5 - 1)(b+1)
4=b
a + b = 9