Question

14. Si M tiene 25 divisores más que N, calcula «x»
M= 36x
N = 24x

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

$36=2^2\cdot 3^3\\\\24=2^3\cdot 3$

Supongamos que la descomposición en factores primos de x es algo así como:

$x=2^a\cdot 3^b\cdot p_1^c\cdot p_2^d\dots$

pudiendo ser cero cualquiera de ellos (me refiero principalmente al 2 y al 3), lo que significa que realmente no está entre sus factores primos.

El número de divisores de M será:

$(3 + a)(4 + b)(c + 1)(d + 1)\dots$

El número de divisores de N será:

$(4 + a)(2 + b)(c + 1)(d + 1)\dots$

Sabemos que la diferencia entre ellos es 25, por tanto:

$25 = (3 + a)(4 + b)(c + 1)(d + 1)\dots \-- (4 + a)(2 + b)(c + 1)(d + 1)\dots$

Sacamos factores comunes:

$25 = [(c + 1)(d + 1)\dots ]\cdot [(3 + a)(4 + b) - (4 + a)(2 + b)]$

Dicho producto solo puede estar formado por los factores:

$a)\:1\times 25\\b)\:5 \times 5\\c)\:25\times 1$

a) $\implies c=d=\dots = 0$

Significa que x no tiene factores primos diferentes de 2 o de 3.

$\implies 25 = (3 + a)(4 + b) - (4 + a)(2 + b)$

$\implies 25=12+3b+4a+ab-8-4b-2a-ab$

$\implies 2a=b+21$

Esto significa que podemos generar cuantos números x nos parezca con solo con asignar a b valores impares cualesquiera.

b) $\implies (c + 1)(d + 1)\dots =5$

5 es un número primo, por tanto solo puede estar formado por un factor del tipo $p^4_1$.

$\implies 5 = (3 + a)(4 + b) - (4 + a)(2 + b)$

$\implies 5=12+3b+4a+ab-8-4b-2a-ab$

$\implies 2a=b+1$

Esto significa que podemos generar cuantos números x nos parezca con solo asignar a b valores impares cualesquiera y añadiendo un único factor primo diferente de 2 y de 3 elevado a la cuarta potencia.

c) $\implies (c + 1)(d + 1)\dots =25$

Solo podemos formar el producto si tenemos dos factores primos del tipo

$p_1^4,\,p_2^4$

$\implies 1 = (3 + a)(4 + b) - (4 + a)(2 + b)$

$\implies 1=12+3b+4a+ab-8-4b-2a-ab$

$\implies 2a=b-3$

Esto significa que podemos generar cuantos números x nos parezca con solo asignar a b valores impares mayores o iguales a 3 y añadiendo dos factores primos diferentes de 2 y de 3 elevados a la cuarta potencia.

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RESUMIENDO

Podemos generar un x válido con los siguientes requisitos:

$2^a\cdot3^b\\b=2n+1\\a= n+11\\n\geq 0$

$2^a\cdot 3^b\cdot p_1^4\\b=2n+1\\a=n+1\\n\geq 0\\p_1\neq 2,\,3$

$2^a\cdot 3^b\cdot p_1^4\cdot p_2^4\\b=2n+1\\a=n-1\\n\geq 1\\p_1\neq p_2\neq 2,\,3$

(Si no me he equivocado. Sigo revisándolo por si acaso.)

Answer 2

x=20

soy malo explicando pero hare el intento

primero haces la descompocision canónica de 36 y 24 y sale asi:

36=2²×3²

24=2³×3

y luego se resuelve con la formula para hallar divisores seria

(3+x)(3+x)=(4+x)(x+1)+25

9+6x+x²=x²+5x+4+25

9+6x=5x+29

x=20

espero que entiendas mi resolucion :")