Question

1/ El perímetro de un triángulo equilátero es 36 cm. Hallar la longitud de una altura del triángulo.

Answer 1

Dato:

Perímetro de un triángulo equilátero = 36cm

Podemos obtener la medida de la altura mediante el Teorema Pitágoras, ya que la mitad de un lado del triángulo y la altura forman un triángulo rectángulo.

Necesitamos conocer el lado, para ello lo obtenemos del dato que nos da el problema: el perímetro.

El perímetro de un triángulo equilátero es por definición la suma de sus 3 lados, que son iguales. Por tanto:

$L=\frac{P}{3}$

Donde:

L es el lado

P el perímetro.

Por lo tanto el lado del triángulo mide:

$L=\frac{36}{3}=12cm$

Aplicamos el teorema de Pitágoras que dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Nuestro triángulo rectángulo está formado por la altura del triángulo equilátero (cateto mayor), uno de los lados del triángulo equilátero (hipotenusa) y la mitad de unos de los lados del triángulo equilátero (cateto menor):

$L^{2} = H^{2} + \frac{L^{2} }{2}$

$H^{2} = L^{2} - \frac{L^{2} }{2}$

$H^{2} = \frac{L^{2} }{2}$

$H = \sqrt{\frac{L^{2} }{2}}$

$H = \frac{\sqrt{ L^{2}} }{ \sqrt{2}}$

$H = \frac{L }{ \sqrt{2}}$

$H = \frac{L }{ \sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }$

$H = \frac{L\sqrt{2} }{2}$

Sustituimos el valor del lado en la ecuación obtenida:

 $H = \frac{12\sqrt{2} }{2}$

$\boxed {H = 6\sqrt{2} cm}$

También podemos expresar el resultado multiplicado por el valor de la raíz de 2:

$H=6\cdot1,41421356237=8,48528137424\approx \boxed {8,49cm}$