Question

Calcular la longitud del apotema de un triangulo equilatero cuyo perímetro mide 18m

Answer 1

Respuesta:

$Ap=\sqrt{3}$

Explicación paso a paso:

Sabiendo que La apotema de un polígono regular es la distancia del centro al punto medio de un lado.

Tenemos que en un triángulo equilátero (tres lados iguales "L") el apotema "Ap" es el señalado en la figura. Cuyo centro "C", es el centro de una circunferencia circunscrita de radio "R"

-------------------------------------------------------

Si utilizamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BCE, tenemos

                                            $Ap^2=R^2-(L/2)^2$

Aplicando nuevamente dicho teorema en el triángulo rectángulo ADF

                                            $L^2+R^2=(2R)^2$

(es de notar que este triángulo rectángulo, está formado por el diámetro de la circunferencia, y por el punto "D" que al estar sobre dicha circunferencia el ángulo ADF, siempre es de 90°)

Despejamos R² de esta última

                                            $L^2=4R^2-R^2=3R^2\\\\R^2=\dfrac{L^2}{3}$

Y sustituimos en la primera ecuación

                                     $Ap^2=\dfrac{L^2}{3}-\dfrac{L^2}{4}=\dfrac{L^2}{12}\\ \\Ap=\dfrac{L}{\sqrt{12}}=\dfrac{L\sqrt{12}}{12}=\dfrac{2\sqrt{3}L}{12}\\ \\\\Ap=\dfrac{\sqrt{3}}{6}L$

Ahora, dado que el perímetro del triángulo equilátero es de 18m, el lado del mismo (L) es su tercera parte

                                                $P_{ABD}=3*L\\\\L=\dfrac{P_{ABD}}{3} =\dfrac{18}{3} \\\\L=6$

Finalmente el Apotema vale

                                              $Ap=\dfrac{\sqrt{3}}{6}(6)\\\\Ap=\sqrt{3}$

----------------------------------------------------------------------------

Espero que sea lo suficientemente claro

Saludos