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Transformaciones Lineales Desde el punto de vista de la algebra lineal, las transformaciones más importantes son aquellas que conservan las combinaciones lineales. Estas también son llamadas como transformaciones lineales o mapeos lineales. Transformación lineal es una parte esencial en la álgebra lineal. Transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales U y V relaciona el mapeo T: U → V que satisface estas condiciones: 1). T (U1 + U2) = T (U1) + T (U2), donde U1 y U2 son vectores en U 2). T (Au) = A T (u), donde A es cualquier cifra escalar La primera condición se conoce como la aditividad mientras que la segunda se conoce como homogeneidad. Puede ser definido como una función entre dos espacios vectoriales, la cual conserva operaciones de multiplicación escalar y suma. De acuerdo con la álgebra abstracta, son homomorfismo de espacios vectoriales . Toda transformación que conserva combinaciones lineales es una transformación lineal. Otra propiedad evidente es que cualquier transformación lineal mapas 0 a 0: T (0) = 0. . Este sigue, por ejemplo, el hecho de que T (x) = T (x + 0) = T (x) + T (0) Para alguna x 2 V, la cual sólo puede ocurrir si T (0) = 0. Representar una transformación lineal en términos de una matriz es una manera ingeniosa, ya que permitirá cálculos concretos en naturaleza. En otras palabras, se puede decir que una matriz puede dar el modelo básico de estas transformaciones. Por ejemplo, si Q es una matriz de m-by-n, en ese caso, la reglaT (Au) = A T (u) representa la transformación Rn → Rm. La transformación Id: V → V definida por Id(x) = x se llama transformación de la identidad. Esta transformación es claramente lineal. Propiedades generales de transformaciones lineales Suponga que V es un espacio vectorial dimensional finito sobre F, y W es otro espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) sobre F. Dado una base de V, existe una transformación lineal única T: V → W tomando cualquier valor que deseamos en la base dada de V, y, además, sus valores sobre la base de V determinan unicamente la transformación lineal. Además, sea V y W espacios vectoriales sobre F. Entonces, cada transformación lineal T: V → W es determinado únicamente por sus valores sobre una base de V. Por otra parte, si v1. . . vn es una base de V y w1, . . . ,wn sonvectores arbitrarios en W, entonces existe una transformación lineal única T: V → W tal que T (vi) = wi para cada i. En otras palabras, hay una transformación lineal única con los valores dados en una base. Otra propiedad de transformación lineal establece que si V y W son espacios vectoriales sobre F, entonces cualquier combinación lineal de transformaciones lineales con dominio V y objetivo W también es lineal. Así, el conjunto L (V, W) de todas las transformaciones lineales T: V → W es un espacio vectorial sobre F. Para concluir, hay dos espacios fundamentales asociados con una transformación lineal: su núcleo ker (T) y su imagen im (T). El núcleo y la imagen de una transformación lineal T corresponden con el espacio nulo y espacio de la columna de cualquier matriz que representa T - See more at:
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Ejemplos de Aplicaciones de las Transformaciones Lineales
1.
Una casa editora publica un libro en tres ediciones diferentes: cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo. Cada libro requiere cierta cantidad de papel y de material para la cubierta. Los requisitos están dados en gramos por la siguiente matriz:
Deja que represente el vector producción, donde x
1
, x
2
, x
3
representan el número de libros con cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo respectivamente, que se publican. La transformación lineal T: R
3
→
R
2
definida por T(x) = Ax nos da el vector , donde y
1
representa la cantidad total de papel requerido y y
2
la cantidad de material para la cubierta. Suponga que , entonces,
Por lo que se requiere 810,000 gramos en papel y 87,000 gramos en material para la cubierta.
Cubierta
dura
Cubierta
blanda
Cubierta de Lujo
Papel
300
500
800
Material para la cubierta
40
50
60
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