En una progresión aritmética de 10 términos el producto de los dos términos que ocupan los lugares medios es 195 y la suma del tercero con el noveno es 30. Calcular la diferencia y el primer término.

Respuestas

Respuesta dada por: danuchi2930
5

Explicación paso a paso:

dividir 10 productos ÷ 195 + (30 luego vas a dividir y con lo que dividistes ósea la respuesta que te dara lo pones en el 30

Pero abajo y listo c:

Respuesta dada por: benjadev
0

Respuesta:

diferencia: 2

primer término: 5

Explicación paso a paso:

Como estamos trabajando en una progresión aritmética nos va a servir mucho la formula para obtener un término de la progresión:

a_{n} = a_{1} + (n-1)d

Nos dicen que está progresión tiene 10 términos y que el producto (multiplicación) entre los lugares medios es 195.

Si te fijas los medios en está progresión son los lugares 5 y 6, entonces podemos decir que el término 5 y 6 al multiplicarlos dan 195.

a_{5} * a_{6} = 195

Pero si recuerdas la formula para obtener un termino (a_{n} = a_{1} + (n-1)d), podemos remplazar cada término en función de esa formula, nos queda así:

(a_{1} + 4d) (a_{1} + 5d) = 195

Tenemos dos incógnitas, nuestro primer término de la progresión y la diferencia, entonces necesitamos un poco más de información.

Luego dice que la suma del tercer término mas el noveno dan 30, así que podemos representarlo así: a_{3} + a_{9} = 30

Utilizamos nuestra formula y representamos esa suma en función de la formula:

(a_{1} + 2d) + (a_{1} + 8d) = 30

Esto es un poco mas fácil de calcular, entonces lo operamos:

2a_{1} + 10d = 30 -> Factorizamos por 2 -> 2(a_{1} + 5d) = 30 -> y dividimos en ambos lados por 2, nos queda esto:

a_{1} + 5d = 15, esto nos dice que nuestro sexto término es igual a 15, ya que si te das cuenta la ecuación esta en función de la formula para el sexto término.

Volviendo a la ecuación de (a_{1} + 4d) (a_{1} + 5d) = 195, nosotros ya conocemos el sexto término, entonces podemos remplazarlo:

15(a_{1} + 4d) = 195 -> dividimos en ambos lados por 15 -> (a_{1} + 4d) = 13, y con esto ya sabemos que el quinto termino es 13.

Como estamos trabajando en una progresión aritmética conociendo dos términos seguidos podemos sacar su diferencia.

a_{6} - a_{5} = 2 -> 15 - 13 = 2, con eso sabemos que nuestra diferencia es 2, y ahora podemos remplazar en cualquier otra ecuación de términos para saber el primer término:
15 = a_{1} + (5) * 2 -> a_{1} = 5.

Saludos

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