Aplique las siguientes identidades trigonométricas a los ángulos 50°, 75°, 85° ,120°,45°: • Identidades reciprocas (csc, sec y cot) • Identidades cociente (tan y cot) • Identidades de angulo doble (sen, cos, tan) • Identidades pitagóricas (las tres)
Respuestas
Respuesta: Aqui esta
Explicación paso a paso:
\displaystyle \tan \alpha + \cot\alpha = \sec\alpha\cdot \csc\alpha
Usamos la definición de tangente y cotangente para desarrollar la parte izquierda de la ecuación
\displaystyle \tan \alpha + \cot\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos\alpha\cdot\sin\alpha}
Usamos que \displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 y las definiciones de secante y cosecante para obtener que
\displaystyle \tan \alpha + \cot\alpha = \frac{1}{\cos\alpha\cdot\sin\alpha}= \sec\alpha\cdot\csc\alpha
que es a lo que queríamos llegar.
2 \displaystyle \cot^2\alpha = \cos^2\alpha+(\cot\alpha\cdot\cos\alpha)^2
Primero desarrollamos el cuadrado
\displaystyle \cos^2\alpha+(\cot\alpha\cdot\cos\alpha)^2=\cos^2\alpha+\cot^2\alpha\cdot\cos^2\alpha
Factorizamos \displaystyle \cos^2\alpha de ambos sumandos, usamos la identidad \displaystyle 1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha y la definición de cosecante y cotangente
\displaystyle \cos^2\alpha(1+\cot^2\alpha)=\cos^2\alpha \cdot\csc^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\cot^2\alpha
3 \displaystyle \frac{1}{\sec^2\alpha}=\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha +\cos^4\alpha
Desarrollamos el lado derecho, iniciando por factorizar \displaystyle \cos^2\alpha de ambos sumandos
\displaystyle \sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha +\cos^4\alpha= \cos^2\alpha(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha)
Usamos la identidad \displaystyle \sin^2\alpha +\cos^2\alpha = 1 y la definición de secante
\displaystyle \sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha +\cos^4\alpha=\cos^2\alpha=\frac{1}{\sec^2\alpha}
4 \displaystyle \cot\alpha\cdot\sec\alpha=\csc\alpha
Usamos la definición de cotangente y secante
\displaystyle \cot\alpha\cdot\sec\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha}
Cancelamos el factor \displaystyle \cos\alpha y usamos la definición de cosecante
\displaystyle \cot\alpha\cdot\sec\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\csc\alpha
5 \displaystyle \sec^2 \alpha +\csc^2\alpha =\frac{1}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}
Desarrollamos con las definiciones de secante y cosecante y operamos la suma de fracciones
\displaystyle \sec^2 \alpha +\csc^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{1}{\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha }
Finalmente usamos la identidad \displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 y obtenemos el resultado deseado
\displaystyle \sec^2 \alpha +\csc^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha }
Att: Geral Alzate