La ecuación de una circunferencia es (x-4)^2+(y-3)^2=20. Hallar la ecuación tangente a este círculo en el punto (6,7)
Respuestas
Respuesta:
x + 2y - 20 = 0
Explicación paso a paso:
Lo primero que hay que hacer es derivar la función, pero como son dos variables, es diferenciación implícita, se deriva respecto a x y se hace lo mismo con y pero indicando la derivada
(x - 4)² + (y - 3)² = 20
2(x - 4) + 2(y - 3)y' = 0
2x - 8 + 2yy' - 6y' = 0
Hay que despejar y'
2y' - 6y' = - 2x + 8
y'(2y - 6y) = - 2x + 8
y' = (- 2x + 8)/(2y - 6)
Se puede factorizar un 2 de ambas partes de la fracción, así que todo se reduce a la mitad
y' = (- x + 4)/(y - 3)
Después, se sustituyen x y y con las coordenadas de los puntos
y' = (- 6 + 4)/(7 - 3)
y' = (- 2)/(7 - 3)
y' = (- 2)/(4)
y' = -2/4
y' = -1/2
Esa es la pendiente, pues es la definición de la derivada, así que una vez que se obtiene la pendiente, con ayuda de la ecuación punto-pendiente se obtiene la ecuación de la línea tangente
y - y1 = m(x - x1)
y1 y x1 son las coordenadas y m la pendiente
y - 7 = (-1/2)(x - 6)
y - 7 = -x/2 + 3
Se despeja y
y = -x/2 +3 + 7
y = -x/2 +10
Se multiplica todo por 2
2y = -x + 20
x + 2y - 20 = 0
Y listo, si lo graficas, tanto la circunferencia como la ecuación de la línea tangente, en Geogebra o Mathway o donde gustes, podrás ver que en el punto (6, 7) es tangente a la circunferencia, es decir, toca el borde pero sin pasar por ella, sin cruzarla o cortarla