Question

Necesito ayuda en el desarrollo de este ejercicio de trigonometría, me urge

Answer 1

La guía de luces de 20 metros alcanzará para decorar el árbol navideño gigante, dado que su perímetro es de 18,79 metros. Opción A.

El enunciado dice lo siguiente:

Una empresa dispone de una guía de luces de 20 metros para decorar un árbol navideño gigante como el que se muestra en la figura adjunta. (ver adjunto). ¿Alcanzará la guía de luces para decorar el árbol?

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo acutángulo e isósceles.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno, también llamado ley del coseno  

Como debemos hallar el perímetro del triángulo y por enunciado conocemos el lado que se repite y el ángulo que forman los dos lados iguales, para hallar el perímetro se encontrará el valor del lado desigual mediante el teorema del coseno.

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones

$\boxed { \bold { a^{2} \ = \ b^{2} \ + \ c^{2} \ - \ 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos( \alpha ) }}$    

$\boxed { \bold { b^{2} \ = \ a^{2} \ + \ c^{2} \ - \ 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos( \beta ) }}$

$\boxed { \bold { c^{2} \ = \ a^{2} \ + \ b^{2} \ - \ 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos( \gamma ) }}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Conocemos el valor de los lados congruentes del triángulo isósceles que representa el árbol de navidad y el ángulo comprendido entre ellos, hallaremos el lado faltante, que sería la base del árbol, empleando el teorema del coseno

Hallando la medida del lado desconocido del triángulo isósceles

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed { \bold { c^{2} \ = \ a^{2} \ + \ b^{2} \ - \ 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos( \gamma ) }}$      

$\boxed { \bold { c^{2} \ = \ 7^{2} \ + \ 7^{2} \ - \ 2 \ . \ 7 \ . \ 7 \ . \ cos( 40 )\° }}$

$\boxed { \bold { c^{2} \ = \ 49 \ + \ 49\ - \ 98 \ . \ cos( 40 )\° }}$

$\boxed { \bold { c^{2} \ = \ 98 \ - \ 98 \ . \ cos( 40 )\° }}$

$\boxed { \bold { c^{2} \ = \ 98 \ - \ 98 \ . \ 0,7660444431189 }}$

$\boxed { \bold { c^{2} \ = \ 98 \ - \ 75,07 }}$

$\boxed { \bold { c^{2} \ = \ 22,93 }}$

$\boxed { \bold { \sqrt{ c^{2} } \ = \sqrt{ 22,93 } }}$

$\boxed { \bold { c \ = \sqrt{ 22,93 } }}$

$\boxed { \bold { c \ = 4,79 \ metros }}$

El lado desigual del triángulo isósceles tiene un valor de 4,79 metros

Hallando el perímetro del triángulo isósceles

El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como suma de los tres lados del triángulo. Al tener dos lados iguales, el perímetro es dos veces el lado repetido (a) más el lado desigual (b).

$\boxed {\bold{ Per\'imetro \ Tri\'angulo \ Is\'osceles = 2 \ . \ a \ + \ b }}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold{ Per\'imetro \ Tri\'angulo \ Is\'osceles = \ 2 \ . \ 7 \ + \ 4,79 }}$

$\boxed {\bold{ Per\'imetro \ Tri\'angulo \ Is\'osceles = \ 14\ + \ 4,79 }}$

$\boxed {\bold{ Per\'imetro \ Tri\'angulo \ Is\'osceles = \ 18,79 \ metros }}$

El perímetro del triángulo isósceles que representa al árbol navideño es de 18,79 metros concluyendo que la guía de luces de 20 metros alcanzará para decorar el árbol