Una antena parabólica de televisión tiene un diámetro de 300 cm y profundidad de 50 cm. Al representar la antena en el plano se obtiene una parábola como lo muestra la siguiente figura. Determine la distancia que existe del vértice de la antena al foco.
Respuestas
Respuesta:
Si la suponemos con su eje horizontal, la ecuación canónica de la parábola es:
y² = 2 p x; la distancia entre el vértice y el foco es p/2
Para este caso: 0,5² = 2 . p . 0,20; p = 0,25 / 0,4 = 0,625
p/2 = 0,3125 m ≈ 31 cm
Explicación:
La distancia que existe del vértice de la antena parabólica de televisión al foco o receptor es de 112.5 cm.
¿Cuál es la ecuación canónica de la parábola?
Aplicaremos la ecuación canónica:
Parábola de eje vertical: (x - h)² = ±4p(y - k)
donde
- (h, k) = son las coordenadas del vértice.
- p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.
Dado que la antena tiene 300 cm de abertura y 50 cm de profundidad sobre el eje, significa que la parábola pasa por los puntos: (-150, 50) y (150, 50)
Parábola de eje vertical con:
h = 0 k = 0 pasa por x = 150 y = 50
Ecuación: [150 - (0)]² = 4p[50 - (0)] ⇒ p = ²²⁵/₂
La distancia del vértice al foco es p = ²²⁵/₂ o 112.5 cm medidos sobre el eje de la parábola. Este eje coincide con el eje y; así que el foco tiene coordenada (0, ²²⁵/₂), pues el vértice es el origen.
En definitiva, la distancia que existe del vértice de la antena parabólica de televisión al foco es de 112.5 cm.
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