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Respuesta:
2,45- 4-5 = 425
Respuesta:
1) a) O bien denominador y numerador son ambos positivos o bien son ambos negativos.
El primer caso requiere x < 1 y (x + 2)(x − 3) < 0. Esto ultimo ´ ocurre s´olo si x ∈ (−2, 3), por
tanto x ∈ (−2, 1). El segundo caso requiere de la misma forma x > 1 y (x + 2)(x − 3) > 0 que
se dan simult´aneamente para x > 3.
Por consiguiente la soluci´on es (−2, 1) ∪ (3,∞).
b) Si x ≥ −1 entonces la ecuaci´on es (x + 1) + (x + 3) < 5 que equivale a x < 1/2. Si
−3 ≤ x ≤ −1 entonces la ecuaci´on es −(x+1)+(x+3) < 5 que se cumple siempre. Finalmente,
si x ≤ −3 entonces la ecuaci´on es −(x + 1) − (x + 3) < 5 que equivale a x > −9/2.
Combinando estos tres casos se obtiene la soluci´on (−9/2, −3] ∪ [−3, −1] ∪ [−1, 1/2), es
decir, (−9/2, 1/2).
2) a) Falso por ejemplo para x = 1, y = 2.
b) √xy ≤
x + y
2
⇔ 2
√xy ≤ x + y ⇔ 4xy ≤ x
2 + 2xy + y
2 ⇔ 0 ≤ x
2 − 2xy + y
2 y esto
se cumple siempre porque el segundo miembro es (x − y)
2
.
3) Claramente se cumple para n = 1 porque 1
2 = 1(1 + 1)(2 + 1)/6. Ahora partiendo de
la identidad del enunciado tenemos que llegar a la misma cambiando n por n + 1. Con este
fin sumamos (n + 1)2
en ambos miembros. El primer miembro es lo que esperamos y podemos
manipular el segundo de la siguiente forma:
n(n + 1)(2n + 1)
6
+ (n + 1)2 =
n + 1
6
n(2n + 1) + 6(n + 1)
=
n + 1
6
2n
2 + 7n + 6
.
Factorizando, 2n
2 + 7n + 6 = (n + 2)(2n + 3) y se obtiene entonces que la expresi´on anterior
es (n + 1)
(n + 1) + 1
2(n + 1) + 1
/6, como deseamos.
4) a) x
4 < 9 ⇔ x
2 < 3 ⇔ |x| <
√
3 que representa el intervalo (−
√
3,
√
3), por tanto
´ınf = −
√
3 y sup =
√
3.
b) x
5 < 9 ⇔ x <
√5
9 por tanto no est´a acotado inferiormente y sup =
√5
9.
c) Los elementos negativos son de la forma −1 −
1
n
con n impar. Claramente su ´ınfimo
es el que corresponde a n = 1, es decir, ´ınf = −2. El resto de los elementos son de la forma
1−
1
n
con n par. El supremo es 1 porque van acerc´andose indefinidamente a este valor sin llegar
a supera
5) En cada caso tranformamos la f´ormula para an para que sea m´as sencillo estudiar la
convergencia
a) Dividiendo entre n
4
,
an =
3 − 2/n4
1 + 2/n2 + 2/n4
que claramente converge con l´ım an = 3.
b) Dividiendo entre 6
n
,
an =
1
(5/6)n + (−1)n
.
Notando que (5/6)n → 0, se sigue que l´ım a2n = 1 mientras que l´ım a2n+1 = −1, por tanto no
existe l´ım an. La sucesi´on no converge.
c) Sacando factor comun´ n, multiplicando y dividiendo por el conjugado y, finalmente,
dividiendo por n,
an = n
p
n2 + 1 − n
= n
n
2 + 1 − n
2
√
n2 + 1 + n
=
1
p
1 + 1/n2 + 1
que claramente converge con l´ım an = 1/2.
6) a) La desigualdad an < 2 se cumple para n = 1. Si la suponemos cierta para un n,
entonces an+1 =
√
2an <
√
2 · 2 = 2, que es la desigualdad para n + 1.
b) Consideramos las implicaciones
an ≤ an+1 ⇔ an ≤
√
2an ⇔ a
2
n ≤ 2an
y la ultima ´ desigualdad es cierta porque 0 < an < 2 (simplif´ıquese entre an). Por el teorema
de Bolzano-Weierstrass la sucesi´on es convergente. digamos l = l´ım an. Tomando l´ımites en la
recurrencia an+1 =
√
2an se tiene l =
√
2l y las posibilidades son l = 0 y l = 2. La primera es
claramente imposible porque a1 = 1 y la sucesi´on es creciente.
7) La desigualdad (a+b)
2 ≥ 4ab se cumple para todo a, b ≥ 0 porque (a+b)
2−4ab = (a−b)
2
.
a) La desigualdad anterior con a = xn, b = t/xn implica que x
2
n+1 ≥ t de donde √
t es una
cota inferior para la sucesi´on. Por otro lado, la cota superior 2 se sigue por inducci´on, ya que
xn ≤ 2 se cumple para n = 1 y suponi´endola para algun´ n, se deduce para n + 1 gracias a
xn+1 =
1
2
xn +
t
xn
≤
1
2
xn +
t
√
t
≤
1
2
2 +
√
t
≤ 2.
b) Se tienen las implicaciones
xn+1 ≤ xn ⇔
1
2
xn +
t
xn
≤ xn ⇔
t
xn
≤ xn ⇔ t ≤ x
Explicación paso a paso: