Question

ayudaaaaaa con este problema hallar el
valor de K

Answer 1

                                        Ecuaciones cuadráticas

Si   $k>\:0$ , indica la menor solución de

$36x^2-12x+1=k^2$

Respuesta: c) $x_2=\frac{1-k}{6}$

Explicación paso a paso:

Al referirse que k es mayor que cero nos da a entender que en la ecuación que parece cuadrática,no lo es por que no esta ordenada.

Por ello un lado debe despejarse a la ecuación para formar una de segundo grado:

$\mathrm{Restar\:}k^2\mathrm{\:de\:ambos\:lados}$

$36x^2-12x+1-k^2=k^2-k^2$

$\mathrm{Simplificar}$

$36x^2-12x+1-k^2=0$

Ahora si es una ecuación de segundo grado, y al pedir la menor solución , eso quiere decir que tenemos que hallar su 2 raíces y encontrar la menor:

$\mathrm{Resolver\:con\:la\:formula\:general\:para\:ecuaciones\:de\:segundo\:grado:}$

$\mathrm{Formula\:general\:para\:ecuaciones\:de\:segundo\:grado:}$

$\mathrm{Para\:una\:ecuacion\:de\:segundo\:grado\:de\:la\:forma\:}ax^2+bx+c=0\mathrm{\:las\:soluciones\:son\:}$

$x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Debes reconocer que $\mathrm{Para\:}\quad a=36,\:b=-12,\:c=1-k^2:\quad x_{1,\:2}=\frac{-\left(-12\right)\pm \sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot \:36\left(1-k^2\right)}}{2\cdot \:36}$

Entonces en la primera solución :

$x_{1}=\frac{-\left(-12\right)+\sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot \:36\left(1-k^2\right)}}{2\cdot \:36}$

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla}\:-\left(-a\right)=a$

$x_{1}=\frac{12+\sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot \:36\left(1-k^2\right)}}{2\cdot \:36}$

$2+\sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot \:36\left(1-k^2\right)}=12+\sqrt{144-144\left(1-k^2\right)}$

$x_{1}=\frac{12+\sqrt{-144\left(-k^2+1\right)+144}}{2\cdot \:36}$

$\mathrm{Multiplicar\:los\:numeros:}\:2\cdot \:36=72$

$x_{1}=\frac{12+\sqrt{-144\left(-k^2+1\right)+144}}{72}$

$\sqrt{144-144\left(1-k^2\right)}=12k$

$x_{1}=\frac{12+12k}{72}$

$\mathrm{Factorizar}\:12+12k:\quad 12\left(1+k\right)$

$x_{1}=\frac{12\left(1+k\right)}{72}$

$\mathrm{Eliminar\:los\:terminos\:comunes:}\:12$

$x_{1}=\frac{1+k}{6}$    ⇒La primera solución

Ahora con la otra raíz resolvemos:

$x_{2}=\frac{-\left(-12\right)-\sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot \:36\left(1-k^2\right)}}{2\cdot \:36}$

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla}\:-\left(-a\right)=a$

$x_{2}=\frac{12-\sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot \:36\left(1-k^2\right)}}{2\cdot \:36}$

$12-\sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot \:36\left(1-k^2\right)}=12-\sqrt{144-144\left(1-k^2\right)}$

$x_{2}=\frac{12-\sqrt{-144\left(-k^2+1\right)+144}}{2\cdot \:36}$

$\mathrm{Multiplicar\:los\:numeros:}\:2\cdot \:36=72$

$x_{2}=\frac{12-\sqrt{-144\left(-k^2+1\right)+144}}{72}$

$\sqrt{144-144\left(1-k^2\right)}=12k$

$x_{2}=\frac{12-12k}{72}$

$\mathrm{Factorizar}\:12-12k:\quad 12\left(1-k\right)$

$x_{2}=\frac{12\left(1-k\right)}{72}$

$\mathrm{Eliminar\:los\:terminos\:comunes:}\:12$

$x_{2}=\frac{1-k}{6}$   ⇒La segunda solución

Entonces:

$\mathrm{Las\:soluciones\:a\:la\:ecuacion\:de\:segundo\:grado\:son:\:}$

$x=\frac{1+k}{6},\:x=\frac{1-k}{6}$

Para saber cual es menor solo reemplazamos un numeroa corde que sea k

si k es mayor que 0 , podemos probar con 1 o 2,3,4......  

Primera solución :

$=\frac{1+k}{6}$       :   $\:k=1$      ⇒ $\frac{1+1}{6}\:=$ $\frac{1}{3}$

Segunda solución

$=\frac{1-k}{6}$       :   $k=1$      ⇒ $\frac{1-1}{6}\:=0$     ⇒Esta es la menor solución, por ende es la respuesta

La menor solución de esa ecuación cuadrática es  $\frac{1-k}{6}$