Respuestas
Respuesta: Sucesiones Geométricas
Objetivos:
Presentadas varias sucesiones cada estudiante identificará sin equivocarse aquellas que son sucesiones geométricas.
Dada la fórmula del n-ésimo término de la sucesión geométrica, cada estudiante determinará, sin error, cualquier término de la misma.
Dada una sucesión geométrica, cada estudiante determinará correctamente la fórmula para el n-ésimo término de la misma.
Introducción
Las series geométricas tienen muchas aplicaciones importantes.
Por ejemplo:
Los núcleos de un isótopo radiactivo tienen un decaimiento de forma aleatoria. Como resultado de núcleos que se desintegran en un determinado período de tiempo el número puede ser descrito por una serie geométrica. En esta aplicación se utiliza serie geométrica para ver la desintegración radiactiva .
La serie geométrica nos puede ayudar a analizar los beneficios relativos de dos estrategias diferentes para el tenis y otros juegos similares - una estrategia agresiva y una estrategia más conservadora.
Ejemplo:
Banqueros, empresarios y los consumidores necesitan ser capaces de trabajar con los ingresos y los gastos.
Definición
Podemos definir una sucesión geométrica de la siguiente manera.
Definición: (Sucesión Geométrica)
Una sucesión geométrica es aquélla en la cual el cociente entre dos términos consecutivos es una constante llamada razón r y puede ser positiva o negativa.
Por ejemplo:
Sea la sucesión 5, 15, 45, 135, 405, 1215, ... es geométrica porque cada término es multiplicado por la misma contante, que es 3.
Sea la sucesión 3, 9, 27, 81, 243, 729, ... es geométrica porque cada término es multiplicado por la misma contante, que es 3.
Sea la sucesión -2, 4, -8, 16, -32, 64, ... es geométrica porque cada término es multiplicado por la misma contante, que es -2.
Cuando hablamos de sucesiones es importante definir la notación utilizada.
Notación: (Sucesión Geométrica)
Comunmente se denominan los términos de una sucesión de la siguiente manera:
a(1) = primer término de la sucesión
a(2) = segundo término de la sucesión
⋮
a(n) = n-ésimo término de la sucesión
r = razón común
El n-ésimo término de una sucesión geométrica es la regla que determina como se calculan los términos de la misma.
Encontrando el N-ésimo Término
Cuando se habla del N-ésimo Término de una sucesión nos referimos a la regla o fórmula que rige el patrón que siguen todos los elementos de la misma. Para encontrar esta formula debemos seguir los siguientes pasos:
Encontrando el N-ésimo Término
1. Determinar el valor de a(1). Es el primer término de la sucesión.
2. Encontrar el cociente d entre dos términos consecutivos en la sucesión, ese cociente d debe ser igual para cualquier par de términos escogidos.
3. Comprobar el resultado dado, haciendo la respectiva sucesión paso a paso.
Si no tenemos una sucesión, entonces utilizar la fórmula cuando tenemos un término y el cociente o constante entre dos términos.
La fórmula para el término general de una sucesión geométrica es:
a n = a 1 · r n - 1
donde a(n) es el término deseado, a(1) es el primer término y r es el cociente o razón entre dos término consecutivos.
Utilicemos los siguientes ejemplos para aclarar tener una idea mas concreta de como encontrar el N-ésimo Término de una sucesión.
Supongamos que se quiere encontrar el N-ésimo Término de la sucesión: 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 , ...
Para hacer esto seguimos los pasos anteriores.
Encontrando el N-ésimo Término
1. Para determinar a(1), podemos usar la formula para n=1
a n = a 1 · r n - 1 ⟶ 3 · r 1 - 1 ⟶ 3 · r 0 ⟶ a n = 3
podemos determinar a(1) tomando directamente el primer término de la sucesión.
a n = 3 · r n - 1
2. Encontrar el valor de r:
r = a 2 a 1 ⟶ r = 6 3 ⟶ r = 2
r = a 4 a 3 ⟶ r = 24 12 ⟶ r = 2
r = a 6 a 5 ⟶ r = 96 48 ⟶ r = 2
Por lo tanto, el término general de la sucesión es:
a n = 3 · 2 n - 1
3. Prueba:
para n = 1 ⟶ a·rn- 1 ⟶ 3·21 -1 ⟶ 3·20 ⟶ 3·1 ⟶ 3
para n = 2 ⟶ a·rn- 1 ⟶ 3·22 -1 ⟶ 3·21 ⟶ 3·2 ⟶ 6
para n = 3 ⟶ a·rn- 1 ⟶ 3·23 -1 ⟶ 3·22 ⟶ 3·4 ⟶ 12
para n = 4 ⟶ a·rn- 1 ⟶ 3·24 -1 ⟶ 3·23 ⟶ 3·8 ⟶ 24
para n = 5 ⟶ a·rn- 1 ⟶ 3·25 -1 ⟶ 3·24 ⟶ 3·16 ⟶ 48
Explicación paso a paso: