Question

. El gobierno apoyó con 100 m de malla para poder cercar un terrero para sembrar hortalizas. ¿Cuál debería ser la medida de uno de sus lados?, si se desea maximizar el área que está sujeta a 2x + 2y = 100 con x ≥ 0 y, y ≥ 0. a) x = 30m, A = 780m2 b) x = 90m, A = 1280m2 c) x = 23m, A = 820m2 d) x = 25m, A = 625m2

Answer 1

Entiendo que el terreno ha de ser un paralelogramo rectángulo.

1. Relación entre las medidas de los lados

El perímetro ha de ser 100 m. Es decir,

                                 $2x + 2y = 100$

o sea,

                                   $x+y = 50$

de donde

                                    $y = 50-x$

2 Área del terreno

El área del paralelogramo de lados x, y es

                                    $A(x,y)=xy$

o sustituyendo la y en función de x,

                            $A(x) = x(50-x) = 50x - x^2$

3 Cálculo del área máxima

El área será máxima para el valor de x que anule la primera derivada:

                                    $A'(x) = 50-2x = 0$

de donde

                                            $\boxed {x = 25}$

que es un máximo pues la segunda derivada, $A"(x) = -2$ es negativa.

Luego corresponde a un cuadrado de lado 25 m y su área es

                                          $\boxed {A = 625 \ m^2}$

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