Question

Urgente. Encuentra la ecuación general de la elipse, cuyos vértices se encuentran en las coordenadas: V1 (6,0) y V2 (-6,0) y cuyos focos se encuentran en las coordenadas F1 (4,0) y F2 (-4,0).

Answer 1

Respuesta:

20x² + 36y² - 720 = 0

Explicación paso a paso:

La ecuación general de la elipse es

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 1

Cada letra mayúscula representa el coeficiente, los vértices son los extremos de la elipse, y los focos se definen como puntos fijos que cumplen con la condición de que la suma de cualesquiera distancias a esos dos puntos, sea constante

La distancia entre cada vértice y el centro forma el semieje mayor, llamado a, y si sumas ambas distancias, entonces es el eje mayor, 2a, y los focos se encuentran en el semieje focal, llamado c, y si sumas esas distancias, es el eje focal, 2c. El valor de a siempre será mayor al de c, y al de b, que es el semieje menor, y la relación entre los 3 es la misma que la que existe en el Teorema de Pitágoras, solo que, por así decirlo, tu hipotenusa sería a

b² + c² = a²

Los datos que tienes son de c (en los focos) y a (en los vértices), entonces partes de ahí para calcular b

b² = a² - c²

b² = 6² - 4²

b² = 36 - 16

b² = 20

Para encontrar la ecuación general, primero debes encontrar la canónica, que tiene la forma (con centro en el origen y horizontal)

$\frac{x^{2} }{a^{2} } + \frac{y^{2} }{b^{2} } = 1$

Para que sepas cómo acomodar a y b, como a es el semieje mayor, el más largo, deberá ser el denominador de la variable que dicte la orientación de la elipse, x es horizontal, y y es vertical, y para saber esto, solo hay que fijarse en los vértices o focos, si se mueve en la coordenada x es horizontal, si se mueve en la coordenada y, es vertical, en este caso es horizontal, y queda

x²/36 + y²/20 = 1

De ahí debes eliminar las fracciones y que tanto x como y, queden como términos no fraccionarios, así que solo multiplicas por los denominadores

[x²/36 + y²/20 = 1](36)(20)

El 36 se anulará en la fracción de x y se quedará el 20, y lo contrario para y, mientras que el 1 se multiplicará por 36 y por 20, lo cual da 720

20x² + 36y² = 720

Igualas a 0, pasando el 720 restando del lado izquierdo de la igualdad

20x² + 36y² - 720 = 0