Question

Suponga que el ingreso mensual de los empleados de una compañía multinacional (sin considerar descuentos) presentan una distribución normal con media 2500 dólares y una desviación estándar de 400 dólares. La compañía tiene una planta de 2200 empleados y cada empleado entrega para una cuenta de ahorro, un 5% de su ingreso más un bono de 10 dólares.

a) ¿Cuántos empleados tienen un ingreso de 3000 dólares o más?

b) ¿Cuántos empleados ahorran mensualmente entre 115 y 155 dólares?

c) Suponga que la compañía decide despedir a los 44 empleados de mayor ingreso. Señale usted el ingreso mínimo de este grupo de empleados.

d) Si se seleccionan al azar dos empleados de esta compañía

I. ¿Cuál es la probabilidad que entre ellos ahorren más de US$250 pero menos de US$280?

II. ¿Cuál es la probabilidad que el ingreso entre ambos presenten una diferencia inferior a 50 dólares?

e) En forma independiente se seleccionan 2 grupos de n trabajadores cada uno. Si en el 68,26% de las veces se observan diferencias inferiores a 2 dólares entre sus ahorros promedios, ¿cuántos trabajadores han sido seleccionado?

Answer 1

232 empleados, aproximadamente, tienen un ingreso de 3000 dólares o más.

Explicación paso a paso:

El ingreso mensual tiene distribución normal con:

media  =  μ  =  2500  dólares     y desviación estándar  =  σ  =  400  dólares.

Se usa una tabla de probabilidades acumuladas calculadas como áreas bajo la curva normal estándar (z).

x  =  ingreso mensual de los empleados

Su estandarización es:

$\bold{z~=~\dfrac{x~-~\mu}{\sigma}}$

En la tabla se obtienen probabilidades acumuladas:

$\bold{P(x~<~a)~=~P(z~<~\dfrac{a~-~\mu}{\sigma})}$

a) ¿Cuántos empleados tienen un ingreso de 3000 dólares o más?

Es necesario trabajar con el evento complemento para obtener la cola derecha de la distribución:

$P(x~>~3000)~=~1~-~P(x~<~3000)~=~1~-~P(z~<~\dfrac{3000~-~2500}{400})\qquad\Rightarrow$

$P(x~>~3000)~=~1~-~P(z~<~1,25)~=~1~-~0,8944\qquad\Rightarrow$

P(x > 3000)  =  0,1056

Multiplicamos por 2200 empleados, se obtiene que 232 empleados, aproximadamente, tienen un ingreso de 3000 dólares o más.

b) ¿Cuántos empleados ahorran mensualmente entre 115 y 155 dólares?

Ahorran el 5% de su ingreso más 10 dólares; por lo tanto queremos conocer ¿cuántos tienen un ingreso entre 2100 y 2900 dólares?

Las probabilidades se obtienen por diferencias:  $\bold{P(b~<~x~<~a)~=~P(x~<~a)~-~P(x~<~b)~=~P(z~<~\dfrac{a~-~\mu}{\sigma})~-~P(z~<~\dfrac{b~-~\mu}{\sigma})}$Entonces:

$P(2100~<~x~<~2900)~=~P(x~<~2900)~-~P(x~<~2200)\qquad\Rightarrow$

$P(2100~<~x~<~2900)~=~P(z~<~\dfrac{2900~-~2500}{400})~-~P(z~<~\dfrac{2200~-~2500}{400})\qquad\Rightarrow$

$P(z~<~1,00)~-~P(z~<~-0,75)~=~0,8413~-~0,4013\qquad\Rightarrow$

P(2200  <  x  <  2900)  =  0,4400

Multiplicamos por 2200 empleados, se obtiene que 968 empleados, aproximadamente, ahorran entre 115 y 155 dólares mensuales.

c) Suponga que la compañía decide despedir a los 44 empleados de mayor ingreso. Señale usted el ingreso mínimo de este grupo de empleados.

44 empleados representa el 2% de los 2200 empleados.

Se desea hallar la probabilidad de que  x  sea mayor que un nivel "a" tal que la probabilidad de pertenecer a este grupo sea 0,0200:

Si P(x  >  a)  =  0,0200         ⇒         P(x  <  a)  =  1  -  0,0200  =  0,9800

$P(x~<~a)~=~P(z~<~\dfrac{a~-~2500}{400})~=~0,9800$

El valor en la tabla asociado a una probabilidad de 0,9800 es: z  =  2,06

De la fórmula de estandarización despejamos x:

x  =  zσ  +  μ  =  (2,06)(400) + (2500)  =  3324

Aproximadamente, 3324 dólares sería el ingreso mínimo mensual del grupo de 44 empleados con mayor ingreso.

d) Si se seleccionan al azar dos empleados de esta compañía

La suma o diferencia de x1 y x2 tiene distribución normal, y cumple con:

E(x1 ± x2)  =  μ ± μ                 V(x1  ±  x2)  =  σ²  +  σ ²

Definimos:

y  =  x1  +  x2                E(y)  =  2μ                  V(y)  =  2σ²           σy  =  √2σ

t  =  x1  -  x2                  E(t)  =  0                     V(t)  =  2σ²            σt  =  √2σ

I. ¿Cuál es la probabilidad que entre ellos ahorren más de US$250 pero menos de US$280?

Ahorran el 5% de su ingreso más 10 dólares (20 entre los dos); por lo tanto queremos conocer ¿probabilidad de un ingreso entre ambos de 4600 a 5200 dólares?

$P(4600~<~y~<~5200)~=~P(y~<~5200)~-~P(y~<~4600)\qquad\Rightarrow$

$P(4600~<~y~<~5200)~=~P(z~<~\dfrac{5200~-~5000}{400\sqrt{2}})~-~P(z~<~\dfrac{4600~-~5000}{400\sqrt{2}})\qquad\Rightarrow$

$P(4600~<~y~<~5200)~=~P(z~<~0,35)~-~P(z~<~-0,71)~=~0,6368~-~0,4483\qquad\Rightarrow$

P(4600  <  y  <  5200)  =  0,1885

Aproximadamente, hay una probabilidad de 0,1885 de que entre ellos ahorren más de US$250 pero menos de US$280.

II. ¿Cuál es la probabilidad que el ingreso entre ambos presenten una diferencia inferior a 50 dólares?

$P(t~<~50)~=~P(z~<~\dfrac{50~-~0}{400\sqrt{2}})~=~P(z~<~0,01)~=~0,5040\qquad\Rightarrow$

P(t  <  50)  =  0,5040

Aproximadamente, hay una probabilidad de 0,5040 de que entre ambos presenten una diferencia inferior a 50 dólares.

e) En forma independiente se seleccionan 2 grupos de n trabajadores cada uno. Si en el 68,26% de las veces se observan diferencias inferiores a 2 dólares entre sus ahorros promedios, ¿cuántos trabajadores han sido seleccionado?

Estamos hablando de una diferencia de 40 dólares entre los ingresos promedios de las muestras 1 y 2.

Cuando se trabaja con medias muestrales, la estandarización se realiza:  

$\bold{P(\overline{x2}~-~\overline{x1}~<~a)~=~P(z~<~\dfrac{a~-~(\mu2~-~\mu1)}{\sqrt{\frac{\sigma^{2}_{1}}{n_{1}}~+~\frac{\sigma^{2}_{2}}{n_{2}}}})}$

Los parámetros poblacionales son iguales; por lo que la estandarización se reduce a:

$\bold{P(\overline{x2}~-~\overline{x1}~<~a)~=~P(z~<~\dfrac{(a~-~0)\sqrt{n}}{\sqrt{2}\sigma}})}$

$P(\overline{x2}~-~\overline{x1}~<~40)~=~P(z~<~\dfrac{(40~-~0)\sqrt{n}}{\sqrt{2}(400)}})~=~0,6825$

La probabilidad 0,6825 se asocia, en la tabla, a un valor de  z  =  0,48.

Despejando n, de la fórmula de estandarización:

$\sqrt{n}~=~}{\sqrt{2}(400)}})~=~0,6825$

$z~=~\dfrac{(40~-~0)\sqrt{n}}{\sqrt{2}(400)}}~=~0,48\qquad\Rightarrow$

$\sqrt{n}~=~\dfrac{\sqrt{2}(400)(0,48)}{40}\qquad\Rightarrow\qquad\bold{n~=~46}$

Se seleccionaron 46 trabajadores.