Question

Ejercicios desafiantes de Matemática Ayuden porfisss :")

Answer 1

                                             Matrices

1) $\begin{pmatrix}x+3&2\\ \:x&x+1\end{pmatrix}=3$

$\det \begin{pmatrix}x+3&2\\ x&x+1\end{pmatrix}=3$

$\mathrm{Encontrar\:el\:determinante\:de\:la\:matriz\:mediante\:la\:formula}:\quad \det \begin{pmatrix}a\:&\:b\:\\ c\:&\:d\:\end{pmatrix}\:=\:ad-bc$

$=\left(x+3\right)\left(x+1\right)-2x$

$\mathrm{Simplificar}\:\left(x+3\right)\left(x+1\right)-2x:\quad x^2+2x+3$

$=x^2+2x+3$

$x^2+2x+3=3$

$\mathrm{Simplificar}$

$x^2+2x=0$

$\mathrm{Resolver\:con\:la\:formula\:general\:para\:ecuaciones\:de\:segundo\:grado:}$

$\mathrm{Para\:una\:ecuacion\:de\:segundo\:grado\:de\:la\:forma\:}ax^2+bx+c=0\mathrm{\:las\:soluciones\:son\:}$

$x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\mathrm{Para\:}\quad a=1,\:b=2,\:c=0:\quad x_{1,\:2}=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot \:1\cdot \:0}}{2\cdot \:1}$

$x=\frac{-2+\sqrt{2^2-4\cdot \:1\cdot \:0}}{2\cdot \:1}:\quad 0$

$x=\frac{-2-\sqrt{2^2-4\cdot \:1\cdot \:0}}{2\cdot \:1}:\quad -2$

$\mathrm{Las\:soluciones\:a\:la\:ecuacion\:de\:segundo\:grado\:son:\:}$

$x=0,\:x=-2$

2)  $N=\begin{pmatrix}\sin \left(x\right)&-\cos \left(x\right)\\ \:\cos \left(x\right)&\sin \left(x\right)\end{pmatrix}$

$\det \begin{pmatrix}\sin \left(x\right)&-\cos \left(x\right)\\ \cos \left(x\right)&\sin \left(x\right)\end{pmatrix}$

$\mathrm{Encontrar\:el\:determinante\:de\:la\:matriz\:mediante\:la\:formula}:\quad \det \begin{pmatrix}a\:&\:b\:\\ c\:&\:d\:\end{pmatrix}\:=\:ad-bc$

$=\sin \left(x\right)\sin \left(x\right)-\left(-\cos \left(x\right)\right)\cos \left(x\right)$

Resolviendo:

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla}\:-\left(-a\right)=a$

$=\sin \left(x\right)\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\cos \left(x\right)$

$\sin \left(x\right)\sin \left(x\right)=\sin ^2\left(x\right)$

$\cos \left(x\right)\cos \left(x\right)=\cos ^2\left(x\right)$

$=\sin ^2\left(x\right)+\cos ^2\left(x\right)$

$\mathrm{Usar\:la\:siguiente\:identidad}:\quad \cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)=1$

$\sin \left(x\right)\sin \left(x\right)-\left(-\cos \left(x\right)\right)\cos \left(x\right)=1$

$=1$

Queda:

$N=1$

3) $A=\begin{pmatrix}\sin \left(x\right)&-\cos \left(x\right)\\ \:\:\sin \left(x\right)&\cos \left(x\right)\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}\sin \left(x\right)&-\cos \left(x\right)\\ \:\:\sin \left(x\right)&\cos \left(x\right)\end{pmatrix}=\sin \left(2x\right)$

Demostrando el lado izquierdo:

$\det \begin{pmatrix}\sin \left(x\right)&-\cos \left(x\right)\\ \sin \left(x\right)&\cos \left(x\right)\end{pmatrix}$

$\mathrm{Encontrar\:el\:determinante\:de\:la\:matriz\:mediante\:la\:formula}:\quad \det \begin{pmatrix}a\:&\:b\:\\ c\:&\:d\:\end{pmatrix}\:=\:ad-bc$

$=\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)-\left(-\cos \left(x\right)\right)\sin \left(x\right)$

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla}\:-\left(-a\right)=a$

$=\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)+\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)$

$\mathrm{Sumar\:elementos\:similares:}\:\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)+\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)=2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)$

$=2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)$

$\mathrm{Usar\:la\:siguiente\:identidad}:\quad \:2\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)=\sin \left(2x\right)$

$=\sin \left(2x\right)$

Quedo:

$\sin \left(2x\right)=\sin \left(2x\right)$  

$\mathrm{Los\:lados\:son\:iguales}$

$\mathrm{Verdadero}$