Question

Calcula el valor de los siguientes límites indeterminados:

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Answer 1

El valor de los limites indeterminados es :              

  1. Lim (x+4)/√x+4  =  0

      x→ -4    

  2. Lim  (√x-√a)/(x-a)  = √a/2a

      x→ a  

  3. Lim x+1 /√6x²+3 +3x  = 1

      x→-1

  4. Lim (√x+2 - 2) /(x-2) = 1/4

      x→2

   5. Lim( √x²+25 - 5) /(√x² +16 -4 )  = 4/5

       X→0

 

 Los valores de los limites indeterminados se calculan mediante la aplicación de la conjugada, de la siguiente manera :

 1.  Lim (x+4)/√x+4  =  (-4+4)/√(-4+4) = 0/0 ind

      x→ -4  

      Lim (x+4)/√x+4 *( √x+4)/( √x+4) = Lim  (x+4) * √x+4/(x+4) =

       x→ -4                                                x→ -4

       Lim √x+4  = √( -4+4) = 0

          x→ -4  

 2.   Lim  (√x-√a)/(x-a)  = (√a-√a)/(a-a) =0/0   ind

       x→ a  

       

       Lim  (√x-√a)/(x-a) * (√x+√a)/(√x+√a) =Lim (√x )²- (√a )² /( x-a)*(√x +√a )

       x→ a                                                        x→ a

     

       = Lim (x-a )/(x-a)* (√x+√a) = Lim  1/(√x+√a) =  1/(√a +√a ) = 1/2√a

           x→ a                                    x→ a

       = 1/2√a*√a/√a = √a/2a

  3. Lim x+1 /√6x²+3 +3x   = (-1+1)/(√6*(-1)²+3 +3*(-1))=0/0

      x→-1

      Lim( x+1 )/(√6x²+3 +3x)*(√6x²+3 -3x)/(√6x²+3 -3x)=

        x→-1

      Lim  ( x+1 )*(√6x²+3 -3x)/(√6x²+3)² -(3x)² =  

        x→-1                                                            

       Lim  ( x+1 )*(√6x²+3 -3x)/( 6x²+3 -9x²)  =Lim( x+1 )*(√6x²+3 -3x)/( -3x²+3)

       x→-1                                                          x→-1

       Lim( x+1 )*(√6x²+3 -3x)/-3*(x+1 )(x-1 ) = Lim (√6x²+3 -3x)/-3*(x-1 ) =

       x→-1                                                        x→-1  

       =    (√6*(-1)²+3 -3*(-1))/-3*(-1-1 )  =  6/6 = 1

       

   4. Lim (√x+2 - 2) /(x-2) =  0/0

      x→2

   

      Lim (√x+2 - 2) /(x-2) =Lim (√x+2 - 2)*(√x+2 + 2) /(x-2)* (√x+2 + 2)=

      x→2                             x→2    

      Lim (√x+2)²- (2)²/(x-2)* (√x+2 + 2)= Lim (x-2)/(x-2)* (√x+2 + 2)

      x→2                                                    x→2

   =  Lim 1/(√x+2 + 2)  = 1/(√2+2  + 2 ) = 1/(√4 + 2 ) = 1/(2 +2 ) = 1/4

      x→2  

   5. Lim( √x²+25 - 5) /(√x² +16 -4 )  =

       X→0

   

    =Lim( √x²+25 - 5)* (√x² +16 +4 )*( √x²+25 +5) /(√x² +16 -4 )*(√x² +16 +4 )*( √x²+25 +5)

    = Lim ( √x²+25)² - (5)²)*(√x² +16 +4 )/(√x² +16)² -(4 )²*( √x²+25 +5) =

       x→0

   = Lim  x²*(√x² +16 +4 )/x²*(√x²+25 +5) =Lim(√x² +16 +4 )/(√x²+25 +5)

     x→0                                                        x→0

  = ( √0²+16  + 4 )/(√0²+25  + 5 )  = 8/10 = 4/5  

Answer 2

Para resolver límites indeterminados de la forma 0/0 que involucran cocientes de polinomios y/o raíces, es necesario aplicar factorización y/o racionalización. Veamos el procedimiento y la solución en cada caso:

1 )

               $\displaystyle\lim_{x \to -4} \frac{x+4}{\sqrt{x+4}} = \lim_{x \to -4} \frac{x+4}{\sqrt{x+4}}\frac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{x+4}} = \lim_{x \to -4} \frac{(x+4)\sqrt{x+4}}{(\sqrt{x+4})^2}$

                                     =   $\displaystyle\lim_{x \to -4} \sqrt{x+4} = \sqrt{-4+4} = 0$

2)

           $\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{{x-a}} = \lim_{x \to a} \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{{(x-a)}}\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{a})}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})} =\lim_{x \to a} \frac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{a}^2)}{{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})}}=$

           $\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{x-a}{{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})}}=\lim_{x \to a} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a}} =\frac{1}{2\sqrt{a}}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} =\frac{\sqrt{a}}{2a}$  

3)

           $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{\sqrt{6x^2+3}+3x} = \lim_{x \to -1} \frac{x+1}{\sqrt{6x^2+3}+3x}\frac{(\sqrt{6x^2+3}-3x)}{(\sqrt{6x^2+3}-3x)} =$

          $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)\sqrt{6x^2+3}-3x}{(\sqrt{6x^2+3})^2-(3x)^2} =\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)\sqrt{6x^2+3}-3x}{(6x^2+3-9x^2)} =$

          $=\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)\sqrt{6x^2+3}-3x}{3(1-x^2)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)\sqrt{6x^2+3}-3x}{3(1-x)(1+x)} =$

          $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{6(-1)^2+3}-3(-1)}{3(1-(-1))} = \frac{6}{6} = 1$

4)

              $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\frac{(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+2})^2-(2)^2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}$  

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

5)

   $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+25}-5}{\sqrt{x^2+16}- 4} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+25}-5}{\sqrt{x^2+16}- 4}\frac{(\sqrt{x^2+25}+5)}{(\sqrt{x^2+25}+5)}\frac{(\sqrt{x^2+16}+4)}{(\sqrt{x^2+16}+4)}$

  $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x^2+25})^2-(5)^2}{(\sqrt{x^2+16})^2- (4)^2}\frac{(\sqrt{x^2+16}+4)}{(\sqrt{x^2+25}+5)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x^2+25-25)}{({x^2+16}- 16)}\frac{(\sqrt{x^2+16}+4)}{(\sqrt{x^2+25}+5)}$

  $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2}\frac{(\sqrt{x^2+16}+4)}{(\sqrt{x^2+25}+5)} =\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+16}+4}{\sqrt{x^2+25}+5} =\frac{8}{10} =\frac{4}{5}$

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