la media aritmética de dos números enteros positivos, sabiendo el cuadrado de su media geométrica es a su media armónica como 7 es a 2.
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Respuesta:
Es bien sabido que la media aritmética de dos números positivos es siempre mayor o igual que la media geométrica de los mismos, es decir:
\sqrt{x y} \leq \cfrac{x+y}{2}
Una forma sencilla de demostrarlo consiste en partir de dicha desigualdad y realizarle transformaciones correctas a la misma con el objetivo de llegar a una expresión que sepamos con seguridad que es cierta. Después, por tanto, podemos recorrer el desarrollo obtenido en sentido inverso y tendríamos demostrada la desigualdad. Veámoslo en este caso:
\sqrt{x y} \leq \cfrac{x+y}{2}
Elevamos al cuadrado a ambos lados:
x y \leq \left (\cfrac{x+y}{2} \right )^2
Desarrollamos la parte derecha:
x y \leq \cfrac{x^2+2xy+y^2}{4}
Multiplicamos por 4 a ambos lados:
4x y \leq x^2+2xy+y^2
Restamos 4xy a ambos lados:
0 \leq x^2-2xy+y^2
Y nos queda a la derecha el desarrollo de (x-y)^2:
0 \leq (x-y)^2
que al ser el cuadrado de un número es, evidentemente, mayor o igual que cero. Desigualdad demostrada.
Pero hay más formas de demostrar que esta desigualdad es cierta. Aquí os dejo una demostración visual de la misma, en la que m representa a la media aritmética de x e y y g a la media geométrica de esos números:
Explicación paso a paso: