Respuestas
¡Hola! Sigue la respuesta con algunas explicaciones.
(I)Sabiendo que una ecuación de segundo grado completa es una igualdad del tipo ax²+bx+c=0 (con a necesariamente diferente de cero, de lo contrario, el término ax² sería cero y se tendría una ecuación de primer grado), inicialmente, para mejor comprensión de las demás etapas de la resolución, se podrá proceder a la determinación de los coeficientes mediante comparación entre la ecuación proporcionada y la forma genérica de la ecuación de segundo grado:
1.x² - 9.x + 20 = 0 (Ve la Nota 1.)
a.x² + b.x + c = 0
Coeficientes: a = 1, b = -9, c = 20
NOTA 1: Cuando el coeficiente es 1, se puede omitirlo, ya que está sobrentendido. Así, en lugar de 1.x², se tiene sólo x²).
(II)Cálculo del discriminante (Δ), utilizando los coeficientes:
Δ = b² - 4 . a . c
Δ = (-9)² - 4 . 1 . 20 ⇒
Δ = (-9)(-9) - 4 . 1 . 20 ⇒
Δ = 81 - 4 . 20 ⇒ (Ver la Nota 2 abajo.)
Δ = 81 - 80 ⇒
Δ = 1
NOTA 2: En la parte resaltada, se aplicó la regla de los signos de la multiplicación: dos signos iguales, +x- o -x+, resultan en signo de negativo (-).
→Como el discriminante (Δ) resultó en un valor mayor que cero, la ecuación x²-9x+20=0 tendrá dos raíces diferentes y pertenecientes al conjunto de los números reales.
(III)Aplicación de la fórmula de Bhaskara (o fórmula resolutiva de ecuación de segundo grado), utilizando los coeficientes y el discriminante:
x = (-b ± √Δ) / 2 . a ⇒
x = (-(-9) ± √1) / 2 . (1) ⇒
x = (9 ± 1) / 2 ⇒
x' = (9 + 1)/2 = 10/2 ⇒ x' = 5
x'' = (9 - 1)/2 = 8/2 ⇒ x'' = 4
Respuesta: Los valores de x (raíces) son 4 y 5.
Otras maneras, pero más formales, de indicar la respuesta:
- S={x E R / x = 4 o x = 5} (leese "el conjunto-solución es x pertenece al conjunto de los números reales, tal que x es igual a cuatro o x es igual a cinco") o
- S={4, 5} (leese "el conjunto-solución está constituido por los elementos cuatro y cinco.")
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VERIFICACIÓN DE QUE LA RESPUESTA ES CORRECTA
→Sustituyendo x = 4 en la ecuación proporcionada en el ejercicio, se verifica que la igualdad se mantendrá, confirmándose que esta es una de las raíces de la ecuación:
1.x² - 9.x + 20 = 0 ⇒
1 . (4)² - 9 . (4) + 20 = 0 ⇒
1 . (4)(4) - 9 . (4) + 20 = 0 ⇒
1 . 16 - 36 + 20 = 0 ⇒
16 - 36 + 20 = 0 ⇒
-20 + 20 = 0 ⇒
0 = 0 (Demostrado que 4 es solución (raíz) de la ecuación.)
→Sustituyendo x = 5 en la ecuación proporcionada en el ejercicio, se verifica que la igualdad se mantendrá, confirmándose que esta es una de las raíces de la ecuación:
1.x² - 9.x + 20 = 0 ⇒
1 . (5)² - 9 . (5) + 20 = 0 ⇒
1 . (5)(5) - 9 . (5) + 20 = 0 ⇒
1 . 25 - 45 + 20 = 0 ⇒
25 - 45 + 20 = 0 ⇒
-20 + 20 = 0 ⇒
0 = 0 (Demostrado que 5 es solución (raíz) de la ecuación.)
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