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Respuesta:
Sea una función y = f(x) , a partir de ella se puede definir otra función, y' = f '(x) , llamada "derivada de f(x)", que va a jugar un papel fundamental en todo el Cálculo Infinitesimal, tal como vamos a ir viendo en éste y en posteriores temas.
Pero comencemos por la definición de derivada en un cierto punto, digamos x = xo , de la función y = f(x) es:
suponiendo que este límite exista (en cuyo caso se dice que f es derivable en xo ). A esta cantidad h se la llama "incremento de x", en muchas ocasiones se la suele representar como Dx (recuerde por ejemplo en Física el concepto de "incremento de temperatura", etc.), y puede ser tanto positiva ("incremento positivo") como negativa ("decremento").
(ATENCIÓN: Hemos dado la definición de la derivada en un punto , es decir, f'(xo) , lo cual representa un valor numérico.
EJEMPLO 1: Para la función y = x² , vamos a hallar su derivada en cierto punto x=a.
Según la definición de arriba tendremos:
Observe cómo hemos sustituido en f(a+h) su valor para este ejemplo, (a+h)² , así como en f(a) el valor correspondiente, a². Finalmente tenemos que hallar el consiguiente límite que por regla general suele tener la forma indeterminada 0/0, pero nosotros debemos operar en él para eliminar la indeterminación:
La derivada en el punto x=a de la función x² es 2a. Es decir, por ejemplo:
f ' (2)= 2.2 = 4,
f ' (3)= 2.3 = 6,
f ' (4)= 2.4 = 8,
etc.
Para la función y = x² , podemos decir que existe derivada en todos sus puntos, posteriormente se define la función derivada de y = x² como la función y' = 2 x.