Question

Busco ayuda con este problema de trigonometríco ;)​

Answer 1

La medida del lado AB del terreno triangular dado es de 74,4 metros

El enunciado dice lo siguiente:

¿Cuál es la medida del lado AB del terreno triangular que se muestra? (ver adjunto del ejercicio)

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno, también llamado ley del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones

$\boxed {\bold { a^{2} = \ b^{2} + \ c^{2} \ - \ 2\ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha )}}$

$\boxed {\bold { b^{2} = \ a^{2} + \ c^{2} \ - \ 2\ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta )}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ a^{2} + \ b^{2} \ - \ 2\ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Esta situación se puede representar en un imaginario triángulo ABC en donde

El lado AC  y el lado BC representan respectivamente las distancias medidas desde el punto C hasta los puntos A y B también respectivamente.  Donde el lado AB equivale a la distancia "x" entre A y B que desconocemos

Conocemos las distancias hasta el punto A y hasta el punto B ambas medidas desde el punto C y el valor del ángulo que ambas distancias conocidas forman entre sí - que resulta ser el ángulo opuesto al lado- que equivale a la distancia "x"  que nos piden hallar Luego empleamos el teorema del coseno para resolver el problema

Hallando la distancia entre A y B - (lado c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { c^{2} = \ a^{2} + \ b^{2} \ - \ 2\ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 58^{2} + \ 36^{2} \ - \ 2\ . \ 58 \ . \ 36 \ . \ cos(120)\° }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 3364 \ + \ 1296 \ - \ 4176 \ . \ cos(120)\° }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 4660 \ - \ 4176 \ . \ cos(120)\° }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 4660 \ - \ 4176 \ . \ - 0,207911690817 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 4660 \ + \ 868,24 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 5528,24 }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{ 5528,24 } }}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{ 5528,24 } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 74,35 \ metros }}$

Redondeando por exceso

$\boxed {\bold { c = \ 74,4 \ metros }}$

La longitud del lado AB  es de 74,4 metros