Question

Hola, busco explicación de este problema de trigonometría​

Answer 1

La expresión que permite calcular la distancia "x" entre la casa y el grupo de árboles es la opción A. Siendo esa distancia de aproximadamente 20,57 metros

Al capturar una imagen, los drones que poseen cámara fotográfica, forman un triángulo con los dos periféricos de sus lentes (ver figura adjunta). A partir de la información anterior, ¿cuál de las siguientes expresiones permite calcular la distancia "x"entre la casa y los árboles? (véase adjunto)

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno, también llamado ley del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha )}}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta )}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Esta situación se puede representar en un imaginario triángulo ABC en donde

El lado AC  y el lado BC representan respectivamente las distancias capturada por los drones hasta el grupo de árboles en el vértice A y a la casa en el vértice B. Donde el lado AB equivale a la distancia "x" entre los árboles y la casa

Conocemos las distancias hasta el grupo de árboles y hasta la casa desde los drones y el valor del ángulo que ambas distancias forman entre sí - que resulta ser el ángulo opuesto al lado- que equivale a la distancia "x" que nos piden hallar Luego empleamos el teorema del coseno para resolver el problema

Hallando la distancia entre los árboles y la casa - "x" = "c"

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold { c^{2} = 16^{2} + 16^{2} - 2 \ . \ 16 \ . \ 16 \ . \ cos(80 )\° }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 256 + 256 - \ 512 \ . \ cos(80 )\° }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 512\ - \ 512 \ . \ cos(80 )\° }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 512 \ - \ 512 \ . \ 0,1736481776669 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 512\ - \ 88,908 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 423,092 }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{423,092 } }}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{423,092 } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 20,5692 \ metros } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 20,57 \ metros } }}$

La distancia "x" entre los árboles y la casa es de ≅ 20,57 metros

Luego la expresión que permite calcular la distancia "x"entre la casa y los árboles es la opción A

$\boxed {\bold { x = \sqrt{ 16^{2} + 16^{2} \ - 2 \ . \ (16) \ . \ (16) \ . \ cos (80)\° } }}$

Desarrollamos y comprobaremos que se obtiene el mismo valor para "x"

$\boxed {\bold { x = \sqrt{ 256 + 256 \ - \ 512 \ . \ cos (80)\° } }}$

$\boxed {\bold { x = \sqrt{ 512 \ - \ 512 \ . \ cos (80)\° } }}$

$\boxed {\bold { x = \sqrt{ 512 \ - \ 512 \ . \ 0,1736481776669 } }}$

$\boxed {\bold { x = \sqrt{ 512 \ - \ 88,908 } }}$

$\boxed {\bold { x = \sqrt{ 423,092 } }}$

$\boxed {\bold { x \approx 20,5692 \ metros } }}$

$\boxed {\bold { x \approx 20,57 \ metros } }}$

Obteniendo el mismo valor para la distancia "x" en ambos casos

Siendo la distancia entre la casa y los árboles de ≅ 20,57 metros