Question

1. Un arquitecto construye una rampa de 13 m de largo contra una pared formando un
ángulo de 42° respecto al piso. Hallar:
a. Cuál es la altura de la rampa?
b. Cuál es la distancia entre la base de la rampa y la pared?
c. Cuál es la medida del ángulo entre la rampa y la pared?​

Answer 1

La altura de la rampa es de aproximadamente 8,70 metros. La distancia entre la base de la rampa hasta la pared es de aproximadamente 9,66 metros. El ángulo que conforma el extremo superior de la rampa con la pared es de 48°

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.  

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura de la rampa, el lado BC que representa la distancia de la base de la rampa a la pared y el lado AC que sería la longitud de la rampa, que forma con el plano del suelo un ángulo de elevación o de escalada de 42°

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos la longitud de la rampa y de un ángulo de elevación o de escalada de 42°

• Longitud de la rampa  = 13 metros

• Ángulo de elevación = 42°

• Debemos hallar la altura de la rampa y la distancia entre la base de la rampa y la pared

A) Hallando la altura de la rampa

Si el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y la hipotenusa (lado AC)

Como sabemos el valor de la hipotenusa (lado AC) que representa la longitud de la rampa, asimismo conocemos el ángulo de elevación que conforma la base de la rampa con el plano del suelo y se pide hallar la altura de la rampa (lado AB), podemos relacionar los daros que tenemos con el seno del ángulo

$\boxed {\bold { sen (42)\°= \frac{cateto \ opuesto }{hipotenusa} = \frac{AB}{AC} }}$

$\boxed {\bold { sen (42)\°= \frac{altura \ de \ la \ rampa }{\ longitud \ de \ la \ rampa} = \frac{AB}{AC} }}$

$\boxed {\bold {altura \ de \ la \ rampa\ (AB)= \ longitud \ de \ la \ rampa \ . \ sen (42)\° }}$

$\boxed {\bold {altura \ de \ la \ rampa\ (AB)= 13\ metros \ . \ sen (42)\° }}$

$\boxed {\bold {altura \ de \ la \ rampa\ (AB)= 13\ metros \ . \ 0,6691306063588 }}$

$\boxed {\bold {altura \ de \ la \ rampa\ (AB)\approx 8,70\ metros }}$

La altura de la rampa es de ≅ 8,70 metros

B) Hallando la distancia entre la base de la rampa y la pared

Si el coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente (lado BC) y la hipotenusa (lado AC)

Como sabemos el valor de la hipotenusa (lado AC) que representa la longitud de la rampa, asimismo conocemos el ángulo de elevación que conforma la base de la rampa con el plano del suelo y se pide hallar la distancia entre la base de la rampa hasta la pared (lado BC),  podemos relacionar los daros que tenemos con el coseno del ángulo

$\boxed {\bold { cos (42)\°= \frac{cateto \ adyacente }{hipotenusa} = \frac{BC}{AC} }}$

$\boxed {\bold { cos (42)\°= \frac{distancia \ rampa \ a \ pared }{\ longitud \ de \ la \ rampa} = \frac{BC}{AC} }}$

$\boxed {\bold {distancia \ rampa \ a \ pared \ (BC)= \ longitud \ de \ la \ rampa \ . \ cos (42)\° }}$

$\boxed {\bold {distancia \ rampa \ a \ pared \ (BC)= 13\ metros \ . \ cos (42)\° }}$

$\boxed {\bold {distancia \ rampa \ a \ pared \ (BC)= 13\ metros \ . \ 0,7431448254773 }}$

$\boxed {\bold {distancia \ rampa \ a \ pared \ (BC)\approx 9,66\ metros }}$

La distancia entre la base de la rampa hasta la pared es de ≅ 9,66 metros

C) Hallando la medida del ángulo entre la rampa y la pared

La base de la rampa al iniciar su escalada conforma - según enunciado- un ángulo de 42°

La culminación de la base de la rampa al encontrarse con la pared en la parte inferior sobre el suelo conforman entre sí un ángulo recto, es decir de 90°

Nos queda determinar el ángulo que conforma la parte superior de la rampa con el extremo superior de la pared, es decir a un nivel de 8,70 metros de altura, que equivale a la altura de la rampa hallada en el inciso A

Estamos representando la situación en un imaginario triángulo rectángulo, del cual se conocen dos ángulos. el de 90° y el de 42°

Si la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°, es decir a dos rectos

Planteamos

$\boxed {\bold { 180\° = 90\° + 42\° + \alpha }}$

$\boxed {\bold { \alpha= 180\° - 90\° - 42\° }}$

$\boxed {\bold { \alpha= 48\° }}$

Por lo tanto la parte superior de la rampa conforma con la pared un ángulo de 48°