Question

Aiudaaaaaa ;c

La suma de tres números en Progresión Aritmética es 30, si al primer término se le suma 1, al segundo 5 y 29 al tercero se obtiene una Progresión Geométrica. Determine los números de ambas progresiones. Help me.

Answer 1

Explicación paso a paso:

Siendo a1, a2 y a3 los números en progresión aritmética:

a1+a2+a3 = 30    (1)

También sabemos que:

a2 = a1+d

a3 = a1+2d

Reemplazando en la igualdad original en función de a1:

a1+a1+d+a1+2d = 30

3a1+3d = 30

a1+d = 10    (2)

Siendo b1, b2 y b3 los números en progresión geométrica se tiene:

a1+1 = b1

a2+5 = b2

a3+29 = b3

La razón en una progresión geométrica se define como:

r = b2/b1  

r = b3/b2    

Entonces, igualando el valor de r:

b2/b1 = b3/b2

a2+5/a1+1 = a3+29/a2+5

(a2+5)² = (a1+1)(a3+29)

Colocando esta igualdad en función de a1:

(a1+d+5)² = (a1+1)(a1+2d+29)

Reemplazando la igualdad 2 en esta última:

(10+5)² = (10-d+1)(10-d+2d+29)

225 = (11-d)(39+d)

225 = 429+11d-39d-d²

d²+28d-204 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado por el método de factorización:

(d+34)(d-6) = 0

d+34 = 0

d = -34

d-6 = 0

d = 6

Con d = -34

Los números en PA serán:

a1 = 10-d = 10-(-34) = 44

a2 = a1+d = 44-34 = 10

a3 = a1+2d = 44-68 = -24

Los números en PG serán:

b1 = a1+1 = 44+1 = 45

b2 = a2+5 = 10+5 = 15

b3 = a3+29 = -24+29 = 5

Con d = 6

Los números en PA serán:

a1 = 10-d = 10-6 = 4

a2 = a1+d = 4+6 = 10

a3 = a1+2d = 4+12 = 16

Los números en PG serán:

b1 = a1+1 = 4+1 = 5

b2 = a2+5 = 10+5 = 15

b3 = a3+29 = 16+29 = 45

Un cordial saludo