Question

Hola me pueden ayudar

Answer 1

Explicación paso a paso:

Los cuatro primeros se resuelven por simple sustitución de la variable en la función, puesto que no dan lugar a ningún tipo de indeterminación:

$\lim_{x \to 4} (2x^2-7x)^2=(2\cdot 4^2-7\cdot4)^2 = 16$

$\lim_{x \to 2}\sqrt[3]{3x+2} =\sqrt[3]{3\cdot 2+2}=2$

$\lim_{x \to -1}\frac{3x+4}{2x+3}=\frac{3 (-1) + 4}{2(-1)+3}= 1$

$\lim_{x \to -2}(x^2-x)^2(2x+3)= ((-2)^2-(-2))^2(2(-2)+3)=-36$

Los otros dos tienen más dificultad, porque al sustituir da lugar a indeterminaciones del tipo 0/0. Es preciso operarlo un poco para evitar la indeterminación.

$\lim_{x \to -1}\frac{x^2-1}{x^3+1}$

Se ve fácilmente que el numerador podemos descomponerlo en (x + 1)(x - 1), y que el denominador tiene también una raíz en x = -1. Aprovechándonos de esto y apoyándonos en Ruffini para descomponer el denominador obtenemos:

$= \lim_{x \to -1}\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \lim_{x \to -1}\frac{x-1}{x^2-x+1}=\frac{-1-1}{(-1)^2-(-1)+1}=-2/3$

$\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{\sqrt{x}-\sqrt{2} }$

Podemos eliminar las raíces del denominador por el procedimiento de la suma por la diferencia (lo que se suele decir impropiamente "multiplicar por el conjugado"). Por otra parte, de modo similar al ejercicio anterior, vemos que el numerador tiene una raíz en x = 2.

$= \lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{\sqrt{x}-\sqrt{2} }\cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2} }{\sqrt{x}+\sqrt{2} } = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)(\sqrt{x} +\sqrt{2}) }{x-2}$

$= \lim_{x \to 2} (x^2+2x+4)(\sqrt{x} +\sqrt{2}) = (2^2+2\cdot 2 +4)(\sqrt{2} +\sqrt{2})=24\sqrt{2}$