Question

se desea construir una lata cilindrica (tipo lata de aluminio de refresco) con un volumen de 355 mL. Hallar las dimensiones que minimizan la cantidad de aluminio empleada en su construccion.

Answer 1

V= 355 cm
πr²h = 355 → h = 355 / πr² 
Atotal = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 710/r 
A'total = 4πr - 710 / r² = 0
4πr = 710 / r²
r³ = 56.5
r≈ 3.84 cm
h≈ 7.66 cm

Answer 2

Para minimizar la cantidad de aluminio tenemos que aproximadamente el radio es 3,84 cm y la altura 2,44 cm

Sea "r" el radio del aluminio y sea "h" la altura, entonces su volumen es igual al área de la base por la altura, es decir:

V = πr²h = 355 ml = 355 cm³

h = 355/πr²

El área de la lata es igual al área lateral por el área de las 2 tapas, entonces es:

A = 2πrh + 2 πr²

Sustituimos el valor de la altura:

A = 2πr(355/πr²) + 2 πr²

A = 710/r + 2 πr²

Derivamos e igualamos a cero para determinar el punto crítico:

-710/r² + 4πr = 0

4πr = 710/r²

r³ = 710/4π

r = ∛(710/4π)

r = 3,84 cm

La segunda derivada es:

1420/r³ + 4π Que siempre es positiva para todo r entonces es un mínimo

h = 355/(π*3,84)²

h = 2,44 cm

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