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Respuesta:
8.2 REGLA PARA CALCULAR LA DERIVADA EN UN PUNTO.
De la definición f '(x) = lim f(x + h) - f(x) = lim f (x + ~x) - f (x) , donde Ax = h,
h-+O h AX-O AX
podemos extraer la siguiente regla para calcular la derivada de f (x) en el punto x.
Paso 1. Se suma a la variable x un incremento Ax # O, y se calcula el valor f (x + AX) .
Paso 2. Se forma el incremento Ay de la función correspondiente al incremento Ax
de la variable x, es decir, se calcula la diferencia Ay = f (x + AX) - f (x).
Paso 3. Se divide ambos miembros entre el incremento de la variable x
AY Paso 4. Se calcula lim - . &-+O Ax
Por definición, el límite resultante es f '(x) , la derivada de f (x) en x.
EJEMPLO. Hallar la derivada de y = 3x2 + x - 5 en el punto x.
SOLUCION. Escribimos f (x) = 3x2 + x - 5 .
AY dY Pasod. lim - = 6x+1. Luego -=6x+1.
Ax-O Ax dX
8.3 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA. Recta tangente a una
curva.
La derivada f '(x) puede ser interpretada como la pendiente de la recta tangente a la
curva y = f (x) en el punto (x, f (x)). En efecto, consideremos un punto P = (x, f (x))
de la grzifica de y = f (x) .
Derivación y Funciones Elementales 201
Para un incremento Ax se obtiene el punto Q = (x + Ax, f (x + AX)) de la gráfica de la
curva, y la recta secante S que pasa por P y Q tiene pendiente
Fijemos el punto P y hagamos que Ax tienda hacia cero. Entonces el punto Q se
aproxima al punto P y la recta secante Sp gira al rededor del punto P. Si esta recta
secante Sg tiende a una posición limite T, entonces consideramos a la recta T como la
recta tangente a la curva en el punto P.
Ahora bien, puesto que el punto P y la pendiente mq determinan completamente a la
recta secante Sy para que ésta se aproxime a una posición limite, y ya que P esta
fijo, bastará que exista
AY lim m, = lixn - = f '(x),
L\x-+O Ax+O AX
y tomar este número como la pendiente de T.
Con esta discusión procedemos a dar las siguientes definiciones.
Dada la función y = f (x) , llamamos recta tangente a la curva y = f (x) en x, ( o a la
gráfica de f (x) en el punto (xl, f(xl)) a la recta T que cumple las dos condiciones
siguientes:
T pasa Por (~19 f (~1)) 9
Y T tiene pendiente f '(x, )
Explicación paso a paso:
Respuesta:
Si f(x)=sen^2 (x-cosx) entonces luego de derivar f(x) y sustituir el valor de x=π/2 encontramos que f'(π/2)=4
Este es un ejercicio de derivadas
La función a trabajar es:
f(x)=sen^2 (x-cosx)
Ahora debemos derivarla:
f'(x)=2*sen(x-cos(x))*[1+sen(x)]
Ahora que hemos hallado la derivada de f(x) debemos sustituir el valor de x=(π/2) en la función:
f'(π/2)=2*sen[π/2-cos(π/2)]*[1+sen(π/2)]
f'(π/2)=2*sen[π/2-0]*[1+1]
f'(π/2)=2*sen(π/2)*2
f'(π/2)=2*2*1
f'(π/2)=4