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3
Resolvamos la ecuación homogénea ![y''-2y'-3y=0 y''-2y'-3y=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27-2y%27-3y%3D0)
![y''-2y'-3y=0\\ \\
r^2-2r-3=0\\ \\
(r+1)(r-3)=0\\ \\
r=-1\vee r=3\to \boxed{y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}} y''-2y'-3y=0\\ \\
r^2-2r-3=0\\ \\
(r+1)(r-3)=0\\ \\
r=-1\vee r=3\to \boxed{y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27-2y%27-3y%3D0%5C%5C+%5C%5C%0Ar%5E2-2r-3%3D0%5C%5C+%5C%5C%0A%28r%2B1%29%28r-3%29%3D0%5C%5C+%5C%5C%0Ar%3D-1%5Cvee+r%3D3%5Cto+%5Cboxed%7By_h%3DC_1e%5E%7B-x%7D%2BC_2e%5E%7B3x%7D%7D)
Luego supongamos que la solución particular sea
![y_p=(Lx^2+Mx+N)e^{2x} y_p=(Lx^2+Mx+N)e^{2x}](https://tex.z-dn.net/?f=y_p%3D%28Lx%5E2%2BMx%2BN%29e%5E%7B2x%7D)
entonces hallemos sus derivadas:
![y_p'=[(2Lx+M)+2(Lx^2+Mx+N)]e^{2x}\\ \\
y_p'=[2Lx^2+2(L+M)x+M+2N]e^{2x}\\ \\ \\
y_p''=[2Lx^2 + 2x(2L + M) + L + 2M + 2N]e^{2x}\\ \\ \\
y_p''-2y_p'-3y_p=x^2e^{2x}\\ \\
y_p'=[(2Lx+M)+2(Lx^2+Mx+N)]e^{2x}\\ \\
y_p'=[2Lx^2+2(L+M)x+M+2N]e^{2x}\\ \\ \\
y_p''=[2Lx^2 + 2x(2L + M) + L + 2M + 2N]e^{2x}\\ \\ \\
y_p''-2y_p'-3y_p=x^2e^{2x}\\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=y_p%27%3D%5B%282Lx%2BM%29%2B2%28Lx%5E2%2BMx%2BN%29%5De%5E%7B2x%7D%5C%5C+%5C%5C%0A+y_p%27%3D%5B2Lx%5E2%2B2%28L%2BM%29x%2BM%2B2N%5De%5E%7B2x%7D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%0Ay_p%27%27%3D%5B2Lx%5E2+%2B+2x%282L+%2B+M%29+%2B+L+%2B+2M+%2B+2N%5De%5E%7B2x%7D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%0Ay_p%27%27-2y_p%27-3y_p%3Dx%5E2e%5E%7B2x%7D%5C%5C+%5C%5C%0A)
![-(3Lx^2 + x(3M - 4L) - 2L - 2M + 3N)e^{2x}=x^2e^{2x}\\ \\
3Lx^2 + x(3M - 4L) - 2L - 2M + 3N=-x^2\\ \\
L=-\dfrac{1}{3}\;,\; M=-\dfrac{4}{9}\;,\; N=-\dfrac{14}{27}
\\ \\. -(3Lx^2 + x(3M - 4L) - 2L - 2M + 3N)e^{2x}=x^2e^{2x}\\ \\
3Lx^2 + x(3M - 4L) - 2L - 2M + 3N=-x^2\\ \\
L=-\dfrac{1}{3}\;,\; M=-\dfrac{4}{9}\;,\; N=-\dfrac{14}{27}
\\ \\.](https://tex.z-dn.net/?f=-%283Lx%5E2+%2B+x%283M+-+4L%29+-+2L+-+2M+%2B+3N%29e%5E%7B2x%7D%3Dx%5E2e%5E%7B2x%7D%5C%5C+%5C%5C%0A3Lx%5E2+%2B+x%283M+-+4L%29+-+2L+-+2M+%2B+3N%3D-x%5E2%5C%5C+%5C%5C%0AL%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C%3B%2C%5C%3B+M%3D-%5Cdfrac%7B4%7D%7B9%7D%5C%3B%2C%5C%3B+N%3D-%5Cdfrac%7B14%7D%7B27%7D%0A%5C%5C+%5C%5C.)
Entonces la solución general es:
![\boxed{y=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}-\left(\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{4}{9}x+\dfrac{14}{27}\right)e^{2x}} \boxed{y=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}-\left(\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{4}{9}x+\dfrac{14}{27}\right)e^{2x}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7By%3DC_1e%5E%7B-x%7D%2BC_2e%5E%7B3x%7D-%5Cleft%28%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E2%2B%5Cdfrac%7B4%7D%7B9%7Dx%2B%5Cdfrac%7B14%7D%7B27%7D%5Cright%29e%5E%7B2x%7D%7D)
Luego supongamos que la solución particular sea
entonces hallemos sus derivadas:
Entonces la solución general es:
Annlau:
Muchas gracias, me sirvió de mucho!
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