Question

Resolver por coeficientes indeterminados
y''-2y'-3y=x^2 e^2x

Answer 1

Resolvamos la ecuación homogénea $y''-2y'-3y=0$

        $y''-2y'-3y=0\\ \\ r^2-2r-3=0\\ \\ (r+1)(r-3)=0\\ \\ r=-1\vee r=3\to \boxed{y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}}$

Luego supongamos que la solución particular sea
                         $y_p=(Lx^2+Mx+N)e^{2x}$

entonces hallemos sus derivadas:

        $y_p'=[(2Lx+M)+2(Lx^2+Mx+N)]e^{2x}\\ \\ y_p'=[2Lx^2+2(L+M)x+M+2N]e^{2x}\\ \\ \\ y_p''=[2Lx^2 + 2x(2L + M) + L + 2M + 2N]e^{2x}\\ \\ \\ y_p''-2y_p'-3y_p=x^2e^{2x}$

        $-(3Lx^2 + x(3M - 4L) - 2L - 2M + 3N)e^{2x}=x^2e^{2x}\\ \\ 3Lx^2 + x(3M - 4L) - 2L - 2M + 3N=-x^2\\ \\ L=-\dfrac{1}{3}\;,\; M=-\dfrac{4}{9}\;,\; N=-\dfrac{14}{27} \\ \\.$


Entonces la solución general es:

        $\boxed{y=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}-\left(\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{4}{9}x+\dfrac{14}{27}\right)e^{2x}}$