Question

4 sen (x/2) + 2 cos x = 3

Answer 1

Apliquemos la siguiente identidad
                    $\cos 2\alpha = 1-2\sin^2 \alpha$

entonces

$4\sin\dfrac{x}{2}+2(1-2\sin^2\dfrac{x}{2})=3\\ \\ 4\sin\dfrac{x}{2}+2-4\sin^2\dfrac{x}{2}=3\\ \\ 4\sin^2\dfrac{x}{2}-4\sin\dfrac{x}{2}+1=0\\ \\ \left(2\sin\dfrac{x}{2}-1\right)^2=0\\ \\ 2\sin\dfrac{x}{2}-1=0\\ \\ \sin\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}\\ \\ \text{Soluci\'on principal:}\\ \\ \dfrac{x}{2}=30\°\\ \\ \boxed{x=60\°}\\ \\ \text{Soluci\'on general:}\\ \\ \boxed{x=180\°k+(-1)^k60\°}$

Answer 2

La expresión trigonométrica presentada se corresponde con las soluciones x = 60º ± (360º×n).

¿Qué es una función trigonométrica?

Una ecuación es una función si la misma cuenta con una variable dependiente, f(x), tal que para uno o varios valores de f(x) existe un valor de la variable independiente, x. En el caso de contar con funciones donde las variables involucradas definen razones trigonométricas, se tiene una función trigonométrica.

Para la tarea en cuestión, se tiene una expresión trigonométrica a la cual se le aplican operaciones aritméticas para resolverla. Se procede de la siguiente manera:

• Expresión: 4sen(x/2) + 2cos(x) = 3  (1)

• Identidad trigonométrica:

        $\displaystyle\bf sen(x/2)=\sqrt\frac{1-cos(x)}{2}\hspace{10}(2)$

• Sustituyendo (2) en (1):

     $\bullet\hspace{5}\displaystyle\bf 4\sqrt\frac{1-cos(x)}{2}+2cos(x) = 3$

     $\bullet\hspace{5}\displaystyle\bf 4\sqrt\frac{1-cos(x)}{2}= 3-2cos(x)$

     $\bullet\hspace{5}\displaystyle\bf \left[4\sqrt\frac{1-cos(x)}{2}\right]^2= \left[3-2cos(x)\right]^2$

     $\bullet\hspace{5}\displaystyle\bf 16\left[\frac{1-cos(x)}{2}\right]= 3^2-2.3.2cos(x)+[2cos(x)\right]]^2$

     $\bullet\hspace{5}\displaystyle\bf 8\left[{1-cos(x)}\right]= 9-12cos(x)+4cos^2(x)$

     $\bullet\hspace{5}\displaystyle\bf 8-8cos(x)= 9-12cos(x)+4cos^2(x)$

     $\bullet\hspace{5}\displaystyle\bf 4cos^2(x)-12cos(x)\right]+8cos(x)+9-8=0$

     $\bullet\hspace{5}\displaystyle\bf 4cos^2(x)-4cos(x)+1=0$

Solución a una ecuación de segundo grado:

Para hallar la solución a la ecuación anterior se utiliza la fórmula general:

• Se cambia de variable:  cos(x) = A

• A = (- b ± √ b² - 4ac) / 2a  ⇒  a = 4, b = - 4, c = 1

• A = {- (- 4) ± √[(- 4)² - 4×(4)×(1)]}/2×4

• A = [4 ± √(16 - 16)]/8 = (4 ± 0)/8 = 4/8 = 2²/2³ = 1/2

• Como cos(x) = A ⇒  cos(x) = 1/2,...  (3)

Solución a la ecuación anterior:

El valor del ángulo que cumple (3) se halla al emplear funciones trigonométricas inversas, se tiene:

• cos(x) = 1/2,...

• arccos[cos(x)] = arccos(1/2)

• x = 60º ± (360º×n)

Para conocer más acerca de funciones trigonométricas, visita:

brainly.lat/tarea/19934635

Para conocer más acerca de ecuaciones de segundo grado, visita:

brainly.lat/tarea/23014641

#SPJ2