Question

Determinar: puntos críticos, máximos y mínimos de la siguiente función: f(x) = x4 − 2x 2 + 1, usando derivadas.

Answer 1

Hola :D

Tenemos la función: $f(x)=x^{4}-2x^{2} +1$ primero sacamos su derivada e igualamos a $0$, para sacar su derivada tomamos en cuenta la fórmula general:

$\boxed{\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1} }\rightarrow \texttt{n es el exponente}$

Entonces, sacando su primer derivada:

$\frac{df(x)}{dx}=4x^{4-1}-(2)(2)x^{2-1}$

$\frac{df(x)}{dx}=4x^{3}-4x$

Recuerda que la derivada de una constante $(+1)$ es $0$, por lo que no se anota.

Luego, la primer derivada se iguala a $0$ y se encuentran los puntos críticos:

$4x^{3}-4x=0\rightarrow \texttt{Sacas factor comun (4x)}$

$4x(x^{2} -1)=0\rightarrow x^{2} -1 \: \texttt{es diferencia de cuadrados}$

$4x(x+1)(x-1)=0\rightarrow \texttt{cada factor se iguala a 0}$

$4x_{1}=0\rightarrow \boxed{x_{1}=0}$

$x_{2} +1=0\rightarrow \boxed{x_{2} =-1}$

$x_{3} -1=0\rightarrow \boxed{x_{3}=1 }$

El método usando puntos críticos nos hará saber los máximos/mínimos absolutos y relativos, consiste en reemplazar lo que obtuvimos en la función:

$f(-1)=(-1)^{2}-2(-1)^{2}+1\rightarrow \bold{f(-1)=0}$

$f(0)=(0)^{4}-2(0)^{2}+1\rightarrow \bold{f(x)=1}$

$f(1)=(1)^{4}-2(1)^{2}+1\rightarrow \bold{f(1)=0}$

Se tendrán las coordenas:

$\underbrace{(-1,0)}_{\texttt{Minimo}}; \:\: \underbrace{(0,1)}_{\texttt{Maximo}}; \:\: \underbrace{(1,0)}_{\texttt{Minimo}}$

Para la función $x^{4}$ pueden haber hasta $3$ puntos críticos, en los cuales habrá un máximo y dos mínimos.

La otra manera de determianr los máximos y mínimos es obtener la segunda derivada y sustituir los valores, entonces:

$\frac{d^{2}f(x) }{dx^{2} } =(4)(3)x^{3-2}-4x^{1-1}$

$\frac{d^{2}f(x) }{dx^{2} } =12x^{2} -4$

Ahora, sustituimos los puntos críticos, se debe tomar en cuenta lo siguiente:

$\heartsuit \: \frac{d^{2}f(x) }{dx^{2} }=-\rightarrow \texttt{Maximo}$

$\heartsuit \: \frac{d^{2}f(x) }{dx^{2} } =+\rightarrow \texttt{Minimo}$

Entonces:

$\clubsuit \:x=-1$

$12(-1)^{2}-4\rightarrow \bold{+8}\Rightarrow \texttt{Minimo}$

$\clubsuit \:x=0$

$12(0)^{2}-4 \rightarrow \bold{-4} \Rightarrow \texttt{Maximo}$

$\clubsuit \:x=1$

$12(1)^{2}-4\rightarrow \bold{+8}\Rightarrow \texttt{Minimo}$

Y listo, igual ya te he mostrado las coordenas, en fin, es todo.

Espero haberte ayudado,

Saludos cordiales AspR178 !!!

Moderador Grupo Rojo

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