Respuestas
Respuesta:Optimizaci´on. 11
E: Halle las dimensiones del rect´angulo de ´area m´axima que se puede inscribir en un c´ırculo de radio
r.
D: H
r
x
√r2 − x2
Se trabaja con la cuarta parte del rect´angulo.
Seg´un la figura, la funci´on que deseamos optimizar
A = x
√
r2 − x2
El dominio de esta funci´on es DA = [0, r]
Para facilitar las operaciones vamos a trabajar con el cuadrado de esta expresi´on, el cual tiene los
mismos puntos cr´ıticos.
Usaremos la notaci´on
A¯ = A2
As´ı
A¯ = x2
(r2 − x2
) = r2
x2 − x4
A¯0 = 2r2
x − 4x3
A¯00 = 2r2 − 12x2
Para calcular los puntos cr´ıticos.
A¯0 = 0 ⇒ 2r2
x − 4x3 = 0 ⇒ 2x(r2 − 2x2
)=0
Esto se cumple si x =0o r2 − 2x2 = 0, es decir x = r
√2
.
Evaluando la segunda derivada en el ´ultimo punto cr´ıtico:
A¯00 r
√2
= 2r2 − 12
r2
2
= 2r2 − 6r2 < 0 ,es un m´aximo relativo.
En los extremos del dominio se ve que la funci´on A¯ se anula.
Regresamos a la funci´on A.
A
r
√2
= r
√2
s
r2 −
r
√2
2
= r
√2
r
√2 = r2
2
Las dimensiones del rect´angulo real son
xMax = 2
√2
r = yMax
Es decir, es un cuadrado.
Explicación paso a paso:
Respuesta:El solar debe tener 12 m de base por 12 m de altura para cercar el área máxima posible, 144 m². Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Explicación paso a paso: